Решение. Найти изображение функции , зная изображение функции

Пример

Пример

Пример

Найти изображение функции , зная изображение функции .

Решение.

, используя теорему о дифференцировании оригинала, получим .

Теорема о дифференцировании оригинала устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р.

Имеет место формула включения: Если и являются функциями-оригиналами, то

.

Доказательство.

В самом деле, . Всякое изображение стремится к нулю при . Значит , откуда вытекает формула включения.

Теорема (интегрирование оригинала). Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р: если , то

. (2)

Доказательство.

Можно показать, что функция является оригиналом, причем .

Пусть . В силу формулы (1), получим

.

С другой стороны , откуда

Таким образом, из теоремы следует, что действие интегрирования оригинала переводится в алгебраическую операцию деления на р. Величину р можно, таким образом, рассматривать как оператор дифференцирования, а величину – как оператор интегрирования по промежутку .

Найти изображение функции .

Решение.

Вопрос 2. Дифференцирование и интегрирование изображения

Теорема (о дифференцировании изображения). Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала, т.е. если , , то .

Доказательство.

Так как функция в полуплоскости является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем

...

.

Последнее равенство означает, что .

В частности, при имеем .

Пример

Найти изображение функции .

Решение.

Известно, что . Отсюда или . Вновь применяя теорему, найдем или , вообще .

Теорема (интегрирование изображений). Если и интеграл сходится, то он служит изображением функции :

Доказательство.

Действительно, .

Предположим, что путь интегрирования лежит в полуплоскости , тогда мы можем изменить порядок интегрирования :

Последнее равенство означает, что является изображением функции .

Таким образом, интегрирование изображения по промежутку приводит к делению оригинала на t, при условии, что – оригинал.

Пример

Найти изображение функции .

Решение.

Как известно, . Поэтому

.

Вопрос 3. Свертка функций. Теорема умножения. Интеграл Дюамеля.

Теорема умножения позволяет находить оригинал, соответствующий произведению двух изображений и , если известны оригиналы и сомножителей.

Определение. Сверткой функций и принадлежащих пространству называется функция, которая обозначается , значения которой вычисляются по правилу

.

Можно доказать, что свертка функций коммутативна и ассоциативна, т.е.

и

.

Найти свертку функции саму с собой.

.

Итак, .

Теорема 5 о свертке (теорема умножения изображений).

При свертывании оригиналов их изображения умножаются, т.е. если

, то

или

.

Дата добавления: 2014-01-05