Решение. Найти оригинал для изображения

Пример

Найти оригинал для изображения .

Представим в виде произведения двух функций: .

.

Как известно , тогда по теореме о свертке

.

Пусть . Имеет место формула

.

Правую часть этой формулы называют интегралом Дюамеля. Интеграл Дюамеля может быть использован при интегрировании ДУ.

При отыскании оригинала в простейших случаях используют таблицу оригиналов и их изображений и простейшие свойства преобразования Лапласа. Для этого заданные изображения нужно преобразовать к линейной комбинации табличных изображений.

Если изображение является правильной рациональной дробью, то эту дробь раскладывают на сумму простейших дробей и находят оригиналы для каждой простейшей дроби.

Пример Найти оригинал, если его изображение .

Решение.

.

Таблица свойств преобразования Лапласа

Оригиналы	Изображения
Название операции	Выражение для операции	Название операции	Выражение для операции
Умножение на число.		Умножение на число.
Сложение		Сложение
Умножение аргумента на число		Деление функции и аргумента на число
Правый сдвиг	,	Умножение на экспоненту
Умножение на экспоненту		Смещение по аргументу
Умножение на (– t)		Дифференцирование
Деление на t		Интегрирование
Дифференцирование		Умножение на р и вычитание начального значения
Интегрирование		Деление на р
Свертка		Умножение

Выводы.

1. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригиналов позволяют действия дифференцирования и интегрирования оригиналов заменить на алгебраические действия соответственно умножения и деления изображений на р.

2. Сверткой функций и принадлежащих пространству называется функция, которая обозначается , значения которой вычисляются по правилу .

3. При свертывании оригиналов их изображения умножаются.

Дата добавления: 2014-01-05