Кодирование данных. Системы счисления

Операции с данными

Аналоговая и дискретная информация. Носители данных

Лекция 2. Аналоговая и дискретная информация. Носители данных. Операции с данными. Кодирование данных. Системы счисления. Энтропия и количество информации

Итак, зарегистрированные сигналы или данные – это результат какого-либо информационного процесса.

Зарегистрированные сигналы могут быть как аналоговыми (регистрируемыми непрерывно и записываемыми в виде графиков), так и дискретными (регистрируемыми через определенные промежутки времени и записываемыми в виде символьного кода: цифрового или буквенного).

Они могут храниться и транспортироваться носителями различных типов (от глиняных дощечек до лазерных дисков). Самый распространенный из носителей, но неэкономичный – это бумага.

Задача преобразования данных при смене носителя - одна из важнейших задач информатики (например: бумажный – оперативная память; оперативная память – жесткий диск; оперативная память – экран монитора и т. п.).

В ходе информационного процесса над данными производятся разнообразные операции, такие как сбор, формализация, фильтрация, сортировка, группировка, архивация, шифрование, преобразование, транспортировка и другие, что определяется спецификой данных.

Вывод: работа с информацией имеет огромную трудоемкость, и ее необходимо автоматизировать.

Кодирование данных используется издавна: код Морзе, Брайля, морской сигнальный, алфавит и т. п.

В истории развития человечества для кодировании чисел наиболее известны две системы счисления: непозиционная и позиционная.

Как та, так и другая системы счисления характеризуются основанием – количеством различных цифр, используемых для записи чисел.

В непозиционных системах счисления, в частности, римской системе, значение цифры остаётся постоянным, т. е. не зависит от её положения.

Например, используя число 10, обозначаемого как "X" и числа 50, обозначаемого как "L" можно записать число 80 как "LXXX". Очевидно, что для цифры "Х" в любом положении вес одинаков, т. е. равен 10.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции, разряда).

Количество цифр, используемых в одном разряде, называется основанием системы счисления.

Десятичная система счисления, которая применяется в повседневной практике, использует для записи чисел десять арабских цифр (от 0 до 9) – десять пальцев руки.

Существовала пятеричная система расчёта (счёт на пальцах одной руки) и т. п.

Для любой позиционной системы счисления справедливо следующее правило формирования числа на основании входящих в эту систему цифр:

,

или, если расписать сумму в этом выражении,

,

где y – число;

k – основание системы счисления;

x_i – цифры числа;

i – номер позиции (разряда) числа, начиная с 0.

Как показала практика, для представления любого числа вполне достаточно системы счисления, состоящей всего из двух символов, что с успехом применяется при работе электронных устройств.

Сохранение любой информации может обеспечиваться использованием двух состояний: наличие – отсутствие. Ячейка памяти, которая, в зависимости от внешнего воздействия, способна принимать одно из двух состояний, обладает минимальной информационной ёмкостью, а её состояния условно обозначаются как "0" и "1".

В компьютерах для кодирования информации в качестве основного кода применяется двоичный или бинарный, представленный позиционной последовательностью нулей и единиц.

Каждый разряд кода ("0" или "1") составляет 1 бит (bit - сокращение от англ. binary digit - двоичное число), т. е. запоминаются два состояния ячейки памяти.

Информация любого типа: символьная, графическая, звуковая кодируется для сохранения на электронных носителях на основании алфавита, состоящего только из двух символов (0, 1), т. е. на основании двоичного кода или двоичной системы счисления.

Информация, представленная в аналоговом виде, для того, чтобы быть сохраненной в электронной памяти, приводится к двоичному коду, т. е. оцифровывается.

В соответствии с тем, что двоичный код имеет позиционную структуру, т. е. старший разряд левее младшего, можно закодировать:

- двумя битами - 4 значения: 00, 01, 10, 11 или (2²);

- тремя – 8 значений: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 или (2³);

- четырьмя – 16 значений или 2⁴;

- пятью – 32 значения или 2⁵;

- восемью – 256 значений или (2⁸) и т. п.

Таким образом, общая формула записи двоичного числа:

N=2^m,

где m – число разрядов.

Восьмиразрядное двоичное число (2⁸) называют байтом (1 byte = 8 bit).

Биты в байте в последовательности нумеруются слева направо: от 0-го до 7-го.

Минимальная комбинация в одном байте – восемь нулей:

00000000₂=0*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+0*2²+0*2¹+0*2⁰ =0₁₀

Максимальная – восемь единиц, что соответствует числу 255 в десятичной системе:

11111111₂=1*2⁷+1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰=128+64+32+16+8+4+2+1=255₁₀

(Подстрочным индексом обозначается основание системы счисления).

Обратное преобразование десятичного кода в двоичный осуществляется делением десятичного числа на 2 до тех пор, пока частное не будет равно единице. Совокупность остатков от деления, записанная слева направо, образует двоичный аналог десятичного числа.

Пример: 13: 2 = 6 + 1

6: 2 = 3 + 0

3: 2 = 1 + 1

1: 2 = 0 + 1

В итоге: 13₁₀ = 1101₂ =2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ = 13₁₀

Кроме двоичного кода, в информатике используется восьмеричный код и широко применяется шестнадцатеричный код, обозначаемый буквой h (hexadecimal). Этим кодом записывается четырехразрядное двоичное число.

Разряд (2⁴) шестнадцатеричного кода соответствует 16 различным значениям бинарного кода.

Значения от 0 до 9 разряда числа записываются цифрами десятичного кода:

0000 – 0; 0001 – 1; 0010 – 2; 0011 – 3; … 1000 – 8; 1001 – 9;

а остальные значения разряда (в десятичной системе – это уже следующий разряд) записываются первыми буквами латинского алфавита:

1010 – А (10); 1011 – B (11); 1100 – C (12);

1101 – D (13); 1110 – E (14); 1111 – F (15).

Преобразование из шестнадцатеричной системы в десятичную осуществляется просто, например:

A3_h = 1010 0011₂ = 10*16¹ + 3*16⁰ =163₁₀

Проверка:. 1*2⁷+1*2⁵+1*2¹+1*2⁰ = 128 + 32 + 2 + 1 = 160 + 3 = 163₁₀

Другой пример: FA_h = 1111 1010₂ = 15*16¹+10*16⁰ = 250₁₀

Проверка: 2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2¹ = 128+64+32+16+8+2 = 250₁₀

Ещё пример перевода шестнадцатеричного числа 30ЕD₁₆ в десятичное:

30ЕD₁₆ = 3*16³ + E*16¹ + D*16⁰ = 3*4096 + 14*16 + 13 = 12525₁₀

Преобразование из десятичной в шестнадцатеричную осуществляется (аналогично двоичной) делением на основание (16) и с записью остатка слева направо:

250: 16 = 15 + 10 (младший разряд - 16⁰ * А);

15: 16 = 0 + 15 (старший разряд - 16¹ * F).

Итог: FA_h = 15*16¹+10*16⁰=250₁₀

Правило 1: делением на основание системы счисления можно преобразовывать целые числа из десятичной системы в систему счисления с любым основанием.

Для перевода правильной дроби какой-либо системы счисления в дробь десятичной системы нужно представить дробные разряды исходной системы в виде простых дробей со знаменателями, соответствующими степеням числа, найти наименьший общий знаменатель и рассчитать десятичную дробь.

Пример: 0,CA_h = 12/16¹ + 10/16² = 192/256 + 10/256 = 202/256=0,789₁₀

Для перевода правильной десятичной дроби в любую другую систему счисления её нужно последовательно умножать на основание заданной системы счисления. В каждом шаге умножения участвуют только дробные части. Процесс умножения продолжается до получения требуемого числа знаков (если точный перевод не возможен) или произведения, дробная часть которого равна нулю.

Целые числа произведения, начиная с первого, являются значениями разрядов правильной дроби в заданной системе. (При округлении величина погрешности равна половине веса цифры заданной системы счисления).

Пример перевода правильной дроби 0,6551₁₀ в восьмеричную систему:

0,6551*8 = 5,2408 5

0,2408*8 = 1,9264 1

0,9264*8 = 7,4112 7

0,4112*8 = 3,2896 3

В результате: 0,6551₁₀ = 0,5173₈

Правило 2. Перевод правильной десятичной дроби в любуюсистему счисления осуществляется последовательным умножением на основание системы.

Дата добавления: 2014-01-05