Отделение корней

Итерационные численные методы решения уравнений с одним неизвестным

Будем рассматривать задачу приближенного нахождения нулей функции одной переменной, иначе, задачу нахождения корней уравнения вида

f(x) = 0, (1)

где f: R ® R — алгебраическая или трансцендентная функция.

В общем случае, если речь идет не об отдельных достаточно узких классах уравнений, например, изучавшихся в школьном курсе математики, можно говорить лишь о приближенном вычислении корней уравнений (1), т.е. таких значений аргумента x = ξ, при которых равенство

f(ξ) = 0

истинно. При этом под близостью приближенного значения x к корню ξ уравнения (1), как правило, понимают выполнение неравенства

при малых ε > 0, хотя часто бывает важным контролировать не абсолютную погрешность приближенного равенства , а относительную, т.е. величину , например, когда величина близка к нулю.

Если функция f(x) такова, что без особого труда можно построить ее график, этим следует воспользоваться, чтобы представить ситуацию с количеством и расположением нулей f(x) выделяя те промежутки оси абсцисс, где график у = f(x) пересекает Ox. (Знание графика много дает и для понимания поведения тех или иных процессов вычисления приближений к корням.) Может оказаться, что построение графика у = f(x) вызывает затруднения, но исходное уравнение (1) очевидным образом представляется в виде

f₁(x) = f₂(x)

и функции f₁(x) и f₂(x) таковы, что легко строятся графики у = f₁(x) и у = f₂(x). Тогда задача определения количества корней и областей их единственности решается отслеживанием точек пересечения этих графиков и выделением на оси абсцисс тех промежутков, которым принадлежат проекции таких точек. Описанный прием называют графическим способом локализации (иначе, отделения, изоляции) корней.

Убедиться в том, что на данном отрезке [а, b] (например, грубо определенном графическим способом) действительно имеется нуль непрерывной функции f(x), можно аналитическим способом, в основе которого лежит известное утверждение математического анализа.

Теорема 1. Больцано-Коши.

Если непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) на концах его имеет противоположные знаки, т.е.

f(a)f(b) < 0, (2)

то на интервале (а, b) она хотя бы один раз обращается в нуль.

Дата добавления: 2014-01-05