Способ отыскания точек перегиба

Пример

Исследовать функцию на экстремум.

Решение.

1. .

2. , - точка максимума,

- точка минимума.

Вопрос 2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

Пусть кривая задана уравнением и пусть функция в точке имеет конечную производную , т.е. в точке существует касательная к данной кривой, не параллельная оси оу (ибо угловой коэффициент ее конечен).

у у М₀

М₀

0 х 0 х

Определение. Будем говорить, что график функции , дифференцируемой на интервале , является выпуклым (вогнутым), если график этой функции в пределах интервала лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

Теорема. Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная положительна (отрицательна ) всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз – кривая вогнута (вверх – кривая выпукла).

Пример. Найти участки выпуклости и вогнутости кривой .

Решение. ,

при , значит, кривая вогнута на ,

при , значит, кривая выпукла на .

Определение. Точка называется точкой перегиба кривой , если существует окрестность точки такая, что при из этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при – в противоположную.

Теорема (Необходимый признак точки перегиба).

Точка может быть точкой перегиба кривой только если или не существует.

Теорема (достаточный признак точки перегиба).

Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет непрерывную вторую производную. Если в точке равна нулю или не существует и при переходе через точку производная меняет свой знак, то точка есть точка перегиба кривой .

1. Найти точки, в которых возможен перегиб, т.е. точки в которых или не существует, или обращается в нуль.

2. Исследовать знак в окрестности каждой такой точки и сделать вывод.

Одновременно с исследованием на ТП происходит исследование направления выпуклости графика функции.

Пример. Найти точки перегиба кривой .

Решение.

1. .

2. .

3. при , при , – абсцисса т.п., т.п. .

Выводы. (не переписывать)

1. Для исследования функции на возрастание (убывание) внутри некоторого промежутка нужно установить знак производной этой функции в данном промежутке; если , то функция возрастает в указанном промежутке, если - то убывает в этом промежутке.

2. Локальный максимум (минимум) функции в точке - наибольшее (наименьшее) значение функции в достаточно малой окрестности точки .

3. Необходимые условия экстремума: если функция в точке имеет локальный экстремум, то она в этой точке или не дифференцируема, или имеет в этой точке производную равную нулю.

4. При исследовании функции на экстремум по 1-ой производной нужно установить, как меняется ее знак при переходе через критическую точку : если с + на –, то – точка максимума, если с – на +, то – точка минимума.

5. Точки кривой, отделяющие участки вогнутости и выпуклости, называются точками перегиба.

6. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. Если меняет знак в окрестности точки , то график функции имеет перегиб в точке .

Дата добавления: 2014-01-05