Задачи с некорректными начальными условиями

Перед нами цепь первого порядка (после коммутации 2 последовательно соединенные индуктивности можно объединить в одну). Решаем так же, как и предыдущие задачи:

;

;

; ; .

Посмотрим, что произошло в момент коммутации. После коммутации по 1 закону Кирхгофа для неразветвленного участка цепи,

,

действительно, индуктивности находятся в одной ветви, значит и ток через них протекает один и тот же. С другой стороны, до коммутации

; .

Данный тип задач называется задачей с некорректными начальными условиями.

Ток в момент коммутации меняется скачком. Запишем уравнения в несколько ином виде. По 2 закону Кирхгофа,

.

Чтобы понять, что произошло в нулевой момент времени, проинтегрируем оба уравнения в интервале от до :

;

Даже если ток изменился скачком, интеграл

,

значит

.

Последнее уравнение можно переписать в виде:

,

.

При некорректных условиях мы переходим от сохранения тока к сохранению магнитного потока. Если в условиях данной задачи ток через индуктивность не сохраняется, то должен сохраняться магнитный поток. Исходя из этой формулировки первого закона коммутации, запишем:

.

Рассмотрим, как с энергетической точки зрения происходит скачок тока.

Значение тока сразу после коммутации должно находиться между двумя начальными значениями (в нашем случае, между 0 и ), потому что при скачке тока на индуктивности будет бесконечное напряжение и, соответственно, на ней будет выделяться бесконечная мощность. Но если у одной индуктивности скачок будет отрицательным, т.е. она будет отдавать энергию в цепь, то скачок тока на второй индуктивности будет обусловлен не за счет энергии источника, а за счет энергии, которую отдаст в цепь первая индуктивность. Для емкостей будет аналогичная ситуация, только со скачком напряжения, и будет сохраняться заряд.

Чтобы обеспечить скачок тока или напряжения, источник должен обладать бесконечной мощностью, что невозможно. Поэтому и начальные условия называются некорректными.

Дата добавления: 2014-01-05