Вопрос 2. Эллипс, уравнение и свойства

Определение. Эллипсом называется ГМТ, сумма расстояний которых от двух данных точек и называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (большая чем расстояние между фокусами).

у

M

r ₁ r ₂

0 х

Пусть М – произвольная точка эллипса. Обозначим , , причем . Выберем начало координат в середине отрезка , ось Ох проведем через фокусы, направив ее от к , ось Оу – вверх.

Тогда координаты фокусов: , .

Пусть – произвольная точка эллипса, обозначим , ,

и называются фокальными радиусами эллипса, причем .

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

– это и есть уравнение эллипса, упростим его. Уединим один радикал, после чего возведем обе части равенства в квадрат.

,

,

,

, возведем в квадрат обе части

Þ

Þ ,

; обозначим , тогда или – каноническое уравнение эллипса.

Дата добавления: 2014-01-05