Спектр дискретного сигнала

Преобразование Фурье позволяет вычислить спектральную плотность сигнала который представляет собой функцию.

Дискретный же сигнал представляет собой последовательность чисел, поэтому аналоговыми средствами спектральную плотность вычислить нельзя.

Поэтому дискретный сигнал представить в виде некоторой последовательной функции. Обычно используют δ (дельта) функцию:

(1)

Преобразование Фурье линейно и спектр δ-функции равен единице, задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра на комплексную составляющую:

(2)

Из этой формулы видно главное свойство спектра любого дискретного сигнала: спектр является периодическим, и его период равен, в данном случае, равен 2П. w=2П, то есть круговой частоте дискретизации.

В данном случае сигнал состоит из δ-функции между которыми единичный интервал.

Размерность спектральной функции дискретного сигнала, будет совпадать с размерностью отсчетов.

Пусть x(k) является отсчетами аналогового сигнала S(t). У которых период T, когда x(k)=S(kT). Каким образом в этом случае будет выглядеть наша спектральная плотность.

Дискретизированный сигнал можно рассматривать в виде последовательности δ-функции:

Полученный в результате дискретизации аналогового сигнала.

(3)

Следовательно, сумма входящая в выражение (3) является периодическим сигналом, поэтому может быть представлена в виде ряда Фурье.

В этой формуле было учтено в интервале [-T/2;T/2]

Периодическая последовательность δ-функции может быть представлена в виде ряда Фурье:

Делая дальнейшее преобразование умножим обе части на е, тогда в конечном счете мы приходим к результату:

Он равен сумме спектров сдвинутых копи исходного непрерывного сигнала S(t).

Расстояние между частотой копиями равно частоте дискретизации:

Характер спектра дискретного сигнала еще раз демонстрирует частотно-временную дуальность преобразования Фурье:

1. Если у нас периодический спектр то он от дискретного сигнала.

2. Если у нас периодический сигнал – то дискретный спектр.

Пунктирная линия показывает срез спектра если сигнал проходит через фильтр нижних частот ФНЧ.

Дата добавления: 2014-01-05