Сопротивление сдвигу при сложном напряженном состоянии. Теория прочности Кулона — Мора

В предыдущей лекции отмечалось, что схема одноплоскостного сдвига соответствует лишь частным случаям разрушения грунта в основании сооружений. В общем случае, как это делалось и при изучении деформируемости грунта, необходимо рассмотреть прочность грунта в условиях сложного напряженного состояния. Для этого используется теория прочности Кулона – Мора.

Пусть к граням элементарного объема грунта приложены главные напряжения σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ (рис. 7.5, а). Будем постепенно увеличивать напряжение σ₁ оставляя постоянной величину σ₃. В конце концов в соответствии с теорией Кулона — Мора произойдет сдвиг по некоторой площадке, наклоненной к горизонтальной плоскости.

Рис. 7.5. Положение площадки скольжения (а); напряжения на наклонной площадке (б) и ориентация площадок скольжения относительно направления действия главных напряжений (в):

1,2 – площадки скольжения

Принимая в первом приближении, что промежуточное главное напряжение σ₂, действующее параллельно этой площадке, не влияет на сопротивление грунта сдвигу, исключим его из дальнейшего рассмотрения.

В отличие от схемы одноплоскостного сдвига, где положение поверхности разрушения было фиксировано зазором между верхней и нижней каретками, в случае сложного напряженного состояния положение этой площадки неизвестно. В теории Кулона — Мора принимается, что на площадке скольжения выполняется условие (7.1) для сыпучих или (7.2) для связных грунтов. Тогда определить положение площадки скольжения можно следующим образом. Запишем известные из курса сопротивления материалов выражения для касательного и нормального напряжений на наклонной площадке в виде (рис. 7.5, б):

τ_α = 1/2 (σ₁ – σ₃) sin 2α; σ_α = 1/2 (σ₁ + σ₃) + 1/2 (σ₁ – σ₃) cos 2 α (7.6)

Согласно (7.2), на площадке скольжения эти напряжения в предельном состоянии будут связаны выражением

τ_α = σtg φ + c (7.7)

Тогда положение площадки скольжения можно определить из условия экстремума выражения (7.7)

∂ (τ_α – σ_αtg φ – c) / ∂α = 0 (7.8)

подставив сюда соответствующие выражения из (47.6).

Дифференцируя в соответствии с (7.8) и проведя преобразования, получим

α _пр = π/4 ± φ /2. (7.9)

Отсюда следует, что в предельном состоянии в каждой точке грунта имеются две сопряженные площадки скольжения, наклоненные под углом π/4 — φ /2 к линии действия максимального и π/4 + φ /2 — минимального главного напряжения (рис. 7.5, в).

Дата добавления: 2014-01-05