Вычисление производных

Определение производной через предел позволяет применять limit для дифференцирования функций. Найдите первую производную функции , используя равенство

>> syms h x

>> L=limit((atan(x+h)-atan(x))/h,h,0);

L =1/(1+x^2)

Вычисление производных любого порядка проще производить при помощи функции diff(f,x,n). Где:

f - дифференцируемая функция;

x- аргумент функции (переменная дифференцирования);

n-порядок производной (по умолчанию n=1).

Технология вычисления производной:

1. Определение символьных переменных с помощью функции syms().

2. Ввод функции дифференцирования f.

3. Ввод функции diff(f,x,n) с конкретными значениями x и n.

4. Получение решения после нажатия клавиши <Enter>.

Будем иллюстрировать методику на примере.

Пример.

Пусть необходимо найти первую и третью производные функции .Процедуры вычисления производных имеют вид:

>> syms x n

1.>> y=x*cos(x);

>> diff(y,x)

ans =cos(x)-x*sin(x)

>> diff(y,x,3)

ans =-3*cos(x)+x*sin(x)

Функция diff(f,x,n) позволяет вычислять производные функций, содержащих символьные переменные.

Пример.

Далее приведены решения для следующих трех функций:

,

,

.

Для функции вычислена третья производная.

>> syms a x n

>> y1=a*x^2;

>> y2=n^x;

>> y3=exp(-a*x^5)+log(a^n+x^a)-a*n/(x^3);

>> z1=diff(y1,x)

z1 =2*x*a

>> z2=diff(y2,x,3)

z2 =n^x*log(n)^3

>> z3=diff(y3,x)

z3 =-5*a*x^4*exp(-a*x^5)+x^a*a/x/(a^n+x^a)+3*a*n/x^4

Функция дифференцирования имеет следующие особенности. Если переменная дифференцирования в выражении отсутствует, а функция имеет вид , то программа не выдает ошибки. Она осуществляет дифференцирование по переменной функциив порядке обратном алфавиту.

Например, если функция содержит переменные , то дифференцирование будет выполнено по переменной . Если при этом в составе аргументов содержится переменная , то она имеет абсолютный приоритет, независимо от ее положения в алфавите переменных.

Приведем примеры на все перечисленные случаи.

>> syms a b c x w;

1.>> diff(a+b^2)

ans =2*b

2.>> diff(a+c*b^3)

ans =b^3

3.>> diff(a*w+c*b^3)

ans =a

4.>> diff(x*a*w+b^3)

ans =a*w

Функция может быть вектором и матрицей. В таких случаях откликом будет также вектор или матрица, элементами которой будут производные от исходных функций, образующих вектор или матрицу.

>> syms a x;

1.>> y=[x*sin(x);x^5;exp(a*x)];

>> diff(y,x)

ans =

[ sin(x)+x*cos(x)]

[ 5*x^4]

[ a*exp(x*a)]

Дата добавления: 2014-01-05