Элементы матрицы нагрузок имеют смысл, когда анализируемые

Матрица нагрузок главных компонент на исходные признаки

, , .

переменные x ⁽¹⁾,..., x ^{( p )} не только центрированы, но и нормированы!!!

Свойства:

1. a_ij – парные коэффициенты корреляции между x ^{( i )} и z ^{( j )}.

2.

	Сумма квадратов элементов j -столбца матрицы нагрузок равна дисперсии j -главной компоненты .

.

3.

	Сумма квадратов элементов i -строки матрицы нагрузок равна дисперсии i -исходной переменной, т.е. единице.

– доля дисперсии, вносимой первыми главными компонентами

По величине определяем количество главных компонент

Интерпретация главных компонент:

– тесно связана с и , – тесно связана с и .

## Þ

## Наблюдения – помесячные данные

– число торговых точек, где распространяется продукция, шт.

– расходы на рекламу, руб.

– доля новинок в ассортименте, %

– средний месячный доход на душу населения, руб.

– количество праздников, шт.

главная компонента z ^(j)	z ^(1)	z ^(2)	z ^(3)	z ^(4)	z ^(5)
собственное число lj	3,09	1,36	0,43	0,10	0,02
суммарный вклад, %	61,8	89,0	97,6	99,6	100,0

, .

– на 2 главные компоненты и приходится 89% суммарной вариации.

Для интерпретации главных компонент построим матрицу нагрузок A,обратим внимание на максимальные по абсолютной величине элементы каждого столбца, особенно – наиболее тесная связь между и (отметим их звездочками):

– тесно связана с , и , – тесно связана с и .

Þ

– можно интерпретировать в модели зависимости объема продаж y от как переменную, объясняющую влияние эффекта замещения (наша фирма получает большую или меньшую долю на рынке).

– можно интерпретировать как переменную, объясняющую влияние эффекта дохода (изменяется суммарный спрос на рынке).

Пример в пакете Статистика

На основании годовых отчетных данных 5 строительных организаций получены следующие данные

y	x1	x2
13,000	3,000	4,000
14,000	6,000	5,000
16,000	8,000	9,000
12,000	2,000	3,000
15,000	7,000	6,000

У –объем выполненных работ (млн.р)

Х1-численность рабочих (тыс.чел.)

Х2-ФЗП (млн.р)

ИСХОДНАЯ НАСТРОЙКА МОДУЛЯ

Собственные векторы СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ корреляционной матрицы

Матрица факторных нагрузок А

Фактор F1 содержит всю информацию о факторах х1 и х2, следовательно можно строить регрессию только по F1

Матрица перехода от старого к новому базису =

Связь между различными базисами

F1=0,512 z1+0,512z2

F2=2,308 z1-2, 308z2

Где zi- нормированное значение исходных признаков

Z1 Z2

-0,849934	-0,608121
0,309067	1,2774888
1,081734	3,9093502
-1,236268	1,3031167
0,695401	2,6062335

Для всех объектов это можно представить в матричном виде

Это координаты нового базиса

Координаты объектов в новом базисе из f1 и f2 зависимости нет

Можно упорядочить организации по обобщенному признаку f1

Убедимся, что достаточно одного фактора для описания зависимости объема выполненных работ от численности рабочих и фонда зарплаты.

Для чего построим регрессию у от новых факторов

F2 не значим и без него получим уравнение

По исходным данным оба фактора незначимы из-за мультиколлинеарности

Осуществим прогноз по уравнению с одной главной компонентой используя дескриптивную статистику исходных данных:

Пусть х1=5, х2=7 найдем нормированные значения

z1=(5-5,2)/2,31=-0,086 z2=(7-5,4)/2,059=0,778

F1=0,512 z1+0,512z2

F 1=0,512*(-0,086)+0,512*0,778=0,354

Получаем прогноз y=14+0,354*0,778=14,275

Дата добавления: 2014-01-05