Определение динамических характеристик систем, заданных нелинейными дифференциальными уравнениями

Рассмотрим систему заданную обыкновенным дифференциальным уравнением следующего вида: L y + F(y) = u(t)

, где L – линейный дифференциальный оператор порядка n

dⁿ

L =

dtⁿ

F – многочлен от функции y(t) и ее производных вплоть до (n–1)-го порядка

F(0,0, …,0) = 0

Существование и единственность решения могут быть доказаны на основе принципа сжимающих отображений. Этот факт позволяет установить явную связь между входной переменной u(t) и выходной переменной y(t).

Рассмотрим случай нулевых начальных условий.

Перейдем к эквивалентному данному уравнению. Для этого первоначально рассмотрим уравнение: L y = u(t)

Для сформированной системы может быть определена весовая функция. Например, используя характеристический многочлен, который легко записывается по форме дифференциального оператора, назначив специальные начальные условия и записав исходную весовую функцию, как общее решение однородного уравнения с этими специальными начальными условиями.

Пусть h(t,τ) – весовая функция этой системы. Если теперь вернуться к исходной системе, то ее реакция может быть определена, как реакция системы с отрицательной обратной связью, у которой петля обратной связи имеет нелинейное преобразование F(y), а общее преобразование подчиняется линейному закону L примененному к y.

Такой подход позволяет записать искомую реакцию, как решение нелинейного интегрального уравнения в следующем виде:

_{∞ ∞}

y(t) = ∫h(t,τ) u(τ) dτ – ∫h(t,τ) F[y(τ)] dτ

^{0 0}

Для решения этого уравнения может быть применен метод последовательных приближений.

_∞

y₁(t) = ∫h(t,τ) u(τ) dτ

⁰

В соответствии с методом последовательного приближения

_∞

y_n+1(t) = y₁(t) – ∫h(t,τ) F[y_n(τ)] dτ, где n = 1,2…

⁰

Поскольку F(y) является многочленом от y и ее производных, то следует надеяться на то, что соответствующие элементы приближения решения будут совпадать с элементами функционального ряда Вальтера и решение задачи будет выписано, как такой функциональный ряд.

Рассмотрим пример: L y + y² = u(t) F(y) = y²

Будем решать задачу при нулевых начальных условиях. Пусть h(t,τ) – весовая функция системы L y = u(t). В соответствии с ранее предложенной системой

_∞

y₁(t) = ∫h(t,τ) u(τ) dτ

⁰ _∞

y₂(t) = y₁(t) – ∫h(t,τ) y₁²(τ) dτ

_∞ ⁰ _{∞ ∞}

y₁²(τ) = (∫h(t,τ) u(τ) dτ)² = ∫ ∫h(τ,σ₁,σ₂) u(σ₁) u(σ₂) dσ₁ dσ₂

⁰ _{∞ ∞ ∞} ^{0 0}

y₂(t) = y₁(t) – ∫h(t,τ) ∫ ∫h(τ,σ₁,σ₂) u(σ₁) u(σ₂) dσ₁ dσ₂ dτ

^{0 0 0}

_∞

Обозначим: h₂(t,σ₁,σ₂) = ∫h(t,τ) h(τ,σ₁) h(τ,σ₂) dτ

_{∞ ∞} ⁰

y₂(t) = y₁(t) – ∫ ∫h₂(t,σ₁,σ₂) u(σ₁) u(σ₂) dσ₁ dσ₂

^{0 0}

Второе слагаемое в правой части представляет собой функционал Вальтера второго порядка, а первое – функционал Вальтера первого порядка. На самом деле функция h₂(t,σ₁,σ₂) оказалась определенной через весовую функцию линейной системы.

Аналогичным образом может быть определено ядро функционала третьего порядка и т.д., что позволяет выписать полное решение исходного нелинейного дифференциального уравнения.

Замечание: Такой подход является, чуть ли не единственным средством для нахождения решения нелинейного дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2014-01-05