Определение начальных условий при переходе от описания системы в макроподходе к описанию системы в микроподходе

Пример определения передаточной функции.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Пусть . Тогда .

.

Получаем:

- передаточная функция; при

- частотная характеристика.

При переходе в микроподход необходимо определить начальные условия для переменных состояния, которые соответствуют начальным условиям, заданным при описании системы линейным дифференциальным уравнением:

. Мы должны установить однозначное соответствие между этими начальными условиями и вектором начальных условий для переменных состояния (только для простоты выкладок положим ):

.

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением выхода, в котором сохраним только общее решение однородного уравнения и в которое подставлено решение уравнения состояния :

. В этом решении есть искомый вектор начальных условий для переменных состояния.

Итак, после подстановки в уравнение выхода получим: . Напомним, что - есть фундаментальная матрица системы, задаваемая соотношением: .

Нам потребуются производные этой матрицы:

;;

.

Заметим, что при , где

E – есть единичная матрица. Поэтому

;;

.

Если теперь в решении последовательно определить производные и положить , то получим:

. (*)

Легко заметить, что полученная конструкция представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно элементов вектора .

Таким образом, при поиске начальных условий для вектора переменных состояния по начальным условиям линейного дифференциального уравнения n - порядка необходимо решить СЛАУ вида (*)

Пример. При n=2 имеем:

В скалярной форме система уравнений примет вид:

Дата добавления: 2014-01-05