Применение законов сохранения. Упругое соударение шаров

Законы сохранения энергии и количества движения могут быть использованы для установления соотношений между различными величинами при столкновениях тел.

Столкновения тел могут быть двух типов: упругие и неупругие. При неупругих столкновениях, происходит изменение внутренней энергии тел (нагрев, изменение формы), при упругих – внутренняя энергия до и после столкновения остается неизменной.

Ниже будем рассматривать только упругие стокновения.

Пусть сталкиваются две частицы с массами и . До столкновения их скорости и соответственно, после столкновения - и . Т.к. столкновение упругое, то внутренняя энергия не меняется и ее учитывать не будем. Также исключим внешние поля и, для удобства, не нарушая общности задач, выберем систему отсчета таким образом, что .

Запишем законы сохранения энергии и количества движения:

, (1)

(2)

Рассмотрим три случая.

1) .

Из уравнения (2) получим:

.

Видим, что скорость очень мала, а, следовательно, и величина мала. Значит, энергия налетающей частицы после столкновения практически не меняется, модуль скорости остается практически неизменным, меняется скорость частицы как векторная величина. Это, так называемое рассеяние легкой частицы на тяжелой.

2) .

В этом случае законы сохранения принимают вид:

Из второго соотношения следует, что вектора скоростей образуют треугольник, а из первого, что этот треугольник прямоугольный.

3) Лобовое (центральное) столкновение частиц разной массы.

Так как движение одномерное, то систему уравнений описывающих столкновение записать в скалярном виде:

,

.

Решения этой системы уравнений представлены ниже:

,

Видно, что если , то после столкновения первое тело останавливается, а второе начинает движение со скоростью первого.

Если , то первое тело после столкновения движется в обратном первоначальному направлении.

Если , то после столкновения тела движутся в одном направлении.

2 .16. Силы упругости. Закон Гука

До сих пор, изучая движение тел, мы считали, что отдельные части тела неподвижны друг относительно друга. Однако, в действительности тела не являются абсолютно твердыми и подвержены различным деформациям.

Различают упругие и неупругие деформации. Если после прекращения действия деформирующей силы геометрические размеры тела полностью восстанавливаются, то такая деформация называется упругой. В противном случае она является неупругой.

Для изучения деформации тела мы мысленно разбиваем его на слои и анализируем смещение этих слоев друг относительно друга под воздействием внешних и внутренних сил.

Важнейшие типы деформаций:

всестороннее сжатие и растяжение,

продольное сжатие и растяжение,

сдвиг,

кручение,

поперечный и продольный изгиб.

Далее мы увидим, что это многообразие деформаций может быть сведено к меньшему числу основных типов деформаций.

Величина деформации оценивается отношением изменения размера тела к первоначальному размеру:

.

Величина называется относительной деформацией.

имеет различный смысл при различных видах деформаций. При всестороннем сжатии и растяжении – это объем, при продольной деформации – длина, при кручении – угол и т.д.

Под действием внешней силы слои тела смещаются друг относительно друга и между слоями начинают действовать внутренние упругие силы, происхождение которых в данном разделе физики не рассматривается. Упругие силы действуют по всей поверхности между слоями. Тело будет сопротивляться внешним воздействиям до тех пор, пока интенсивность внутренних сил не достигнет некоторого предела, после чего тело либо теряет свои упругие свойства, либо разрушается.

Интенсивность упругих сил характеризуют величиной силы, действующей на единицу площади сечения, взятой нормально или касательно (тангенциально) к действующим силам, т.е. нормальным или тангенциальным напряжением. Таким образом, напряжение определяется как отношение: - если воздействия распределены равномерно. При неравномерном распределении - имеет место выражение .

Английский физик Роберт Гук в 1675 году обнаружил, что напряжение в деформированном теле пропорционально относительной деформации:

где - модуль упругости.

Это закон Гука. Он справедлив только в пределах упругой деформации. Увеличение воздействия на тело свыше некоторого предельного значения приводит сначала к возникновению нелинейной зависимости, а потом упругость частично или полностью исчезает.

Графически, закон Гука выражается прямой линией.

Вычислим работу, затрачиваемую внешней силой на деформацию тела. Эта работа равна площадью заштрихованного на рисунке 2.11 треугольника.

.

Если пренебречь тепловыми эффектами, то можно считать,

что работа по деформации тела переходит в потенциальную энергию деформированного тела. Поэтому, учитывая соотношение , в соответствии с законом Гука , формулу для потенциальной энергии деформированного тела можно записать в виде:

.

Если мы запишем закон Гука через деформирующую тело силу (см. описание лабораторной работы №4) , где - коэффициент жесткости, и воспользуемся соотношениями и то, интегрируя выражение , получим выражение для потенциальной энергии в виде:

.

Рассмотрим теперь конкретные виды деформаций.

1. Всестороннее сжатие или растяжение. Этот тип деформации реализуется, когда на любой участок поверхности тела оказывается одинаковое давление (напряжение). Разделив это давление на относительное изменение объема тела, получим выражение для модуля всесторонней объемной упругости:

.

Объемной упругостью обладают все тела (газообразные, жидкие, твердые). Упругие свойства полностью характеризуются модулем объемной упругости. Величина обратная ему называется коэффициентом сжимаемости. Этот коэффициент показывает, на какую долю от первоначального объема изменяется объем при «единичном» давлении.

2. Растяжение вдоль одной оси.

В этом случае отношение напряжения к относительному изменению длины носит название « модуль Юнга».

При растяжении происходит изменение поперечного размера тела. Отношение относительного изменения поперечного размера тела к относительному изменению продольного называется коэффициентом Пуассона.

.

Зная можно судить об изменении объема тела при продольной деформации.

3. Сдвиг.

Сдвигом называется такая деформация, при которой все слои тела, параллельные данной плоскости, не изменяясь в размерах и не искривляясь, смещаются параллельно друг другу. Деформация «сдвиг» может быть реализована только в твердых телах, т.к. параллельное смещение слоев в газах или жидкостях не приводит к возникновению сил упругости.

Отрезок называется абсолютным сдвигом, угол -углом сдвига. При малых сдвигах . Поэтому называют еще относительным сдвигом.

Согласно закону Гука, относительный сдвиг должен быть пропорционален тангенциальному напряжению . Поэтому

- модуль сдвига.

Дата добавления: 2014-01-05