Конверсия валюты и наращение процентов

1. Рубли – депозит рублевый – рубли
2. Рубли – конверсия (перевод валюты) – свободно конвертируемая валюта – депозит валютный - свободно конвертируемая валюта – конверсия – рубли
3. свободно конвертируемая валюта – валютный депозит - свободно конвертируемая валюта
4. свободно конвертируемая валюта – конверсия – рубли – рублевый депозит – рубли – конверсия - свободно конвертируемая валюта

ЗАДАЧИ:

ЗАДАЧА 1:

1 января имеется возможность разместить на 3 месяца сумму 1 000 $ на рублевом или на валютном депозите. Ставка на валютном – 6 % годовых, на рублевом – 12 %. Курс продажи $ на 1 января – 31руб 25 коп. Ожидаемый на 31 марта – 31 руб 50 коп.

Где выгоднее разместить 1000$?

ДАНО: P = 1000$ i1 = 6 % i2 = 12 % n = 3 мес К0 = 31,25 К1 = 31,50 НАЙТИ: S3,S4

РЕШЕНИЕ:

S = P (1 + n*i)

S3 = 1000 (1 + 3* 0,06/12) = 1015 $

S4 = 1000 * 31,25 (1 + 3*0,12/12)*1/31,5 = 1021, 83 $

Ответ: S4 – выгодно

ЗАДАЧА 2:

1 января имеется возможность разместить на 3 месяца сумму 10 000 руб на рублевом или на валютном депозите. Ставка на валютном – 6 % годовых, на рублевом – 12 %. Курс продажи $ на 1 января – 31руб 25 коп. Ожидаемый на 31 марта – 31 руб 50 коп.

Где выгоднее разместить 10 000 руб?

ДАНО: P = 10 000 руб i1 = 6 % i2 = 12 % n = 3 мес К0 = 31,25 К1 = 31,50 НАЙТИ: S3,S4

РЕШЕНИЕ:

S = P (1 + n*i)

S3 = 10 000 (1 + 3* 0,12/12) = 10 300 руб

S4 = 10 000 * 31,25 = 320 $

S4 = 320* (1 + 3* 0,06/12) = 324,8 $

10 300 / 31,5 = 327 $

Ответ – выгоднее в рублях.

При каком ожидаемом курсе роста обе схемы S1 и S2 будут одинаковыми. В соответствии сделать выбор, где выгоднее держать рубли и валюту.

S1 = S2

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: при курсе меньшем = рубли и при курсе большем = валюта

ЗАДАЧА 3:

Определите проценты из суммы накопительного долга если ссуда в размере 700 000 руб выдана на 4 года под 20 % годовых.

ДАНО: Р = 700 000 руб n – 4 года i – 20 % НАЙТИ: I -? S -?

РЕШЕНИЕ:

S = P (1 + n*i)

I = P*n*i = 700 000*4*0,2 = 560 000

S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб

ЗАДАЧА 4:

Акция компании А была куплена за 20 000 руб. Через 2 года была продана за 24 000 руб. Определить доходность акции за период владения.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ: S = P (1 + n*i)

20 000(1+2*i) = 24 000

Ответ – 10 %

ЗАДАЧА 5:

Вексель выдан на сумму 1 000 000 руб. Выплаты по нему происходят 17 ноября. А приобрел 23 сентября. Учетная ставка по векселю 20 %. Сколько получил владелец?

ДАНО: d = 23 % n – 55/365 S – 1 000 000 НАЙТИ: P -?

РЕШЕНИЕ: P= S(1 - n*d)

P = 1 000 000(1+0,2*55/365) = 969863,01 руб

ОТВЕТ: 969863,01 руб

ЗАДАЧА 6:

Контрактом предусматривается погашение в размере 210 руб. ссуда была выдана 4 мес назад и составляла 180 руб. Определить доходность ссудной операции, в виде простых доходных ставок.

ДАНО: n – 4/12 S – 210 руб. P – 180 руб. НАЙТИ: d,i -?

РЕШЕНИЕ:

S = P (1+n*i)

210 = 180(1+3*i)

I = 50%

P = S (1 - nd)

d = 43 %

Сложные процессы.

Начисление сложных годовых процентов.

База для начисления сложных процентов не остается постоянной в данном случае, она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная величина начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличение общей суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам пропорционально последовательному увеличению средств, вложенных под простые проценты на единичный период. И присоединение начисляемых процентов к базе называется капитализацией процентов.

Пусть происходит начисление и капитализация процентов 1 раз в год. Обозначим i – годовая ставка сложных процентов. I_t - проценты, начисляемые за год t.

		It	St
	P	P*i	P(1+i)
	P(1+i)	P(1+i)*i	P(1+i)^2
…
n	P(1+i)^n-1	P(1+i)^n-1*i	P(1+i)^n

i меняется – переменная ставка сложных процентов.

S = P(1+i₁)ⁿ₁*…*(1+i_m)ⁿ_m

Пример: срок ссуды 5 лет, договорная ставка 12 %, Маржа 0,5 % (1 - 2). 0,75 % (3 - 5)

Множитель наращения = (1+12,5)²*(1+12,75)³=

Начисление процентов при дробном числе лет.

Часто срок начисления процентов не является целым числом. В правилах некоторых банков в этих случаях проценты начисляется только за целое число периодов. В основной массе учитывается полный срок. В случае учета полного срока применяются 2 метода:

1. общий метод.
2. Смешанный метод.

Общий метод предполагает начисление процентов по объявленной ставке за весь срок.

S = P(1+i)ⁿ

И смешанный метод – S = P(1+i)^a*(1+b+i^,),

где а – целое число периодов n, a b – дробная часть периодов n.

Рост по сложным и простым процентам.

Для того, чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам достаточно сравнить соответствующие множители наращения.

1+ni_s ~ (1+i)ⁿ

N=1 =

n<1 >

n>1 <

Срок ссуды и формулы удвоения.

Продемонстрируем различие в последствиях применения простых и сложных процентов на примере определенного срока, за который первоначальная сумма увеличивается в N раз.

i_s = 1+ni_s = N n = (N-1)/i_s^,

i = (1+iⁿ) = N n = (ln(N))/(ln(1+i))

Пример: определить число лет, за который первоначальный капитал увеличивается в 5 раз, если применяются простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.

Решение:

n = (5-1)/0,15 = 26,7

n =(ln(5))/(ln(1+1,15)) = ln(3,85) = 11,5

Наращение процентов m раз в год. Номинальные и эффективные ставки.

Проценты обычно капитализируются не один раз, а несколько раз в год.

Пусть проценты капитализируются m раз в год, по ставке g годовая, т.е. каждый раз проценты начисляются по ставке g/m.

S = P(1+g/m)^nm,где g – номинальная ставка.

Эффективной называется ставка, однократное наращение по которой приводит к тому же результату, что и m разовое по номинальному.

i_э= (1+g/m)^m-1

При m>1 -> i_э

Операции по сложной учетной ставке.

Достаточно часто в практике учетных операций применяют сложную учетную ставку. Процесс дисконтирования происходит с замедлением. Т.к. каждый раз учетная ставка применяется к сумме, уже дисконтированной, на предыдущем шаге во времени.

P = S(1 - d)ⁿ

Пусть дисконтирование происходит m раз в год по ставке f (номинальная учетная ставка).

P = S(1- f/m)^mn

(1 – d_э)ⁿ = (1- f/m)^mn

d_{э =} 1 - (1- f/m)^m

m>1: d_э < f

ЗАДАЧА 1:

Кредит, в размере 5 000 000 руб. выдан на 3 года и 1 месяц под 15% годовых сложных процентов. Определить сумму наращения при различных способах начислений процентов.

Решение:

1. Смешанный

S = P(1+i)^a*(1+b+i^,)

S = 5 000 000 (1+0,15)³ *(1 + (1 + 0,15)/12))

S = 7 699 429, 69

1. Общий

S = P(1+i)ⁿ

S = 5 000 000 (1 + 0,15)^3*1/12 = 5 000 000 (1 + 0,15)^3,08 = 7 689 876, 28

ЗАДАЧА 2:

Определить число лет, необходимое для увеличения первоначальной суммы в 10 раз при применении простых и сложных процентов по ставке 15% годовых.

Решение:

Простые: n = (10 – 1)/0,15 = 60 лет

Сложные: n = (ln(10))/(ln(1 + 0,15)) = 2,30/0,14 = 16,4 лет

ЗАДАЧА 3:

Трата на сумму 10 000 000 руб. Срок выплаты по трате наступает через 5 лет. Происходит продажа с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Определить дисконт.

Решение:

P = S(1 - d)ⁿ = 10 000 000 (1 – 0,15)⁵ = 4 437 053, 13

D = S – P = 10 000 000 - 4 437 053, 13 = 5 562 946, 88 руб.

ЗАДАЧА 4:

Сберегательный сертификат на 100 000 руб. выкупная стоимость – 300 000 руб. срок – 5 лет. Определить доходность в виде сложной ставки процентов.

Решение:

S = P(1+i)ⁿ

300 000 = 100 000 * (1 + i)⁵

3 = * (1 + i)⁵

i = 24, 6 %

ЗАДАЧА 5:

Дата добавления: 2014-01-05