Тема 5

А б

А б

А б в

А б в

А б в

А б в

А б в

Б

А

Д е

А б в г

Рисунок 18 – Способы задания плоскости

Изображенная на рис. 18е плоскость Р пересекает плоскость проекций по прямым линиям, обозначенным P_Н, P_V, и Pw – эти прямые линии на­зываются следами плоскости: P_V — фронталь­ный след, P_Н — горизонтальный след, Pw — профильный след плоскости Р.

Задание плоскости ее следами является по существу частным случаем задания ее двумя пересекающимися прямыми, т. е. прямыми, по вторым плоскость пересекается с плоскостями проекций.

В зависимости от того, какое положение занимают плоскости относительно плоскостей проекций, можно выделить:

§ плоскости общего положения – не перпендикулярные и не параллельные плоскостям проекций;

§ плоскости проецирующие – перпендикулярные плоскостям проекций;

§ плоскости уровня – плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Плоскости уровня и проецирующие плоскости в отличие от плоскости общего положения называются плоскостями частного положения.

На рис.18 изображена плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей про­екций – это плоскость общего положения.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций Н, называется горизон­тально проецирующей плоскостью (рис.19).

Рисунок 19 – а – горизонтально проецирующая плоскость, заданная следами модель и эпюр, б - горизонтально проецирующая плоскость, заданная треугольником модель и эпюр

Плоскость, показанная на рис. 20, перпенди­кулярна к плоскости проекций V. Это фрон­тально проецирующая плоскость.

Рисунок 20 – а – фронтально проецирующая плоскость заданная следами модель и эпюр, б – фронтально проецирующая плоскость заданная треугольником, в – фронтально проецирующая плоскость заданная пересекающимися прямыми

Плоскость (рис. 21), перпендикулярная к плоскости проекций W — профильно проеци­рующая плоскость.

Рисунок 21 – а – профильно проецирующая плоскость, заданная следами модель и эпюр, б – профильно проецирующая плоскость, заданная пересекающимися прямыми, в – фронтально проецирующая плоскость, заданная треугольником

Плоскость, изображенная на рис. 22, перпен­дикулярна к плоскостям проекций V и W, т. е. параллельна Н - э то горизонтальная плоскость.

Рисунок 22 – а – горизонтальная уровня плоскость, заданная следами модель и эпюр, б – горизонтальная уровня плоскость, заданная параллельными прямыми, в – горизонтальная уровня плоскость, заданная тремя точками

Плоскость (рис. 23), перпендикулярная к плоскостям проекций Н и W, т. е. параллельная V, — фронтальная.

Рисунок 23 – а – фронтальная уровня плоскость, заданная следами модель и эпюр, б – фронтальная уровня плоскость, заданная пересекающимися прямыми, в – фронтальная уровня плоскость, заданная четырехугольником

Плоскость на рис. 24 перпендикулярна к пло­скостям проекций Н и V, т.е. параллельна W - это профильная плоскость.

Рисунок 24 – а – профильная уровня плоскость, заданная следами модель и эпюр, б – профильная уровня плоскость, заданная плоской фигурой (кругом), в – профильная уровня плоскость, заданная параллельными прямыми

Известно из курса геометрии, что прямая принадлежит плоско­сти, если она проходит через две точки, при­надлежащие плоскости, или проходит через одну точку, принадлежащую плоскости, и параллельна какой-то прямой, лежащей в данной плоскости.

Применительно к начертательной геометрии первое из этих положений должно быть сфор­мулировано так: прямая принадлежит плоско­сти, если ее проекции проходят через однои­менные проекции двух точек, принадлежащих плоскости (точки А и В на рис. 25).

Рисунок 25 – Примеры принадлежности прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она при­надлежит прямой, лежащей в заданной плоскости. Это значит, что для построения какой-либо точки, принадлежащей заданной плоскости, надо построить вначале в этой плоскости пря­мую, а затем на ней взять точку (точка К на рис.25).

Среди множества прямых, которые могут быть проведены в плоскости, следует выделить главные линии плоскости: горизонталь, фронталь, линию наибольшего ската (наклона).

Горизонталь плоскости — прямая, принад­лежащая плоскости и параллельная го­ризонтальной плоскости проекций (рис. 26).

Рисунок 26 – Горизонталь плоскости модель и эпюры

Рисунок 27 – Фронталь плоскости модель и эпюры

Фронталь плоскости — прямая, принадле­жащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекции (рис. 27).

Линией наибольшего ската плоскости называют лежащую в этой плос­кости прямую, которая перпендикулярна произвольной горизонтали или фронтали плос­кости. Линии ската NM и BE опре­деляют угол наклона плоскости к гори­зонтальной плоскости проекций. Он оп­ределяется — построением на горизон­тальной проекции отрезка прямой be (рис. 28а) прямоугольного треугольни­ка, вторым катетом которого служит разность аппликат концов отрезка. Угол α есть угол наклона плоскости ABC к плоскости Н.

Следует отметить, что следы пло­скости также являются главными лини­ями плоскости — горизонталью и фронталью (рис. 28б), совмещенными с плоскостями проекций. Главные линии пло­скости в качестве вспомогательных прямых облегчают решение ряда задач.

Рисунок 28 – Линия наибольшего ската плоскости

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися.

Две пло­скости параллельны, если две пересе­кающиеся прямые одной плоскости со­ответственно параллельны двум пере­секающимся прямым другой плоско­сти (рис. 29). Если параллельные плоскости задаются на эпюре следами, то одноименные следы этих плоскостей должны быть параллельными.

Рисунок 29 – Взаимно параллельные плоскости

По­строение линии пересечения плоско­стей — одна из основных задач начер­тательной геометрии. Она относится к так называемым позиционным задачам.

Позиционными называют задачи на определение общих элементов различ­ных сопрягаемых геометрических форм. К ним относятся задачи на при­надлежность геометрических элемен­тов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение пря­мой и плоскости с поверхностью, пере­сечение двух поверхностей и, в частно­сти, задача на пересечение двух плоско­стей.

Две плоскости пересекаются по пря­мой линии, поэтому для построения ли­нии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой.

Рассмотрим частный случай пересечения плоскостей, когда одна из них — проецирующая.

На рис. 30а приведены плоскость общего положения Р и горизонтально проецирующая плоскость S. Двумя об­щими точками, принадлежащими обе­им плоскостям, являются точки пересе­чения М и N одноименных следов этих плоскостей, которые и определяют ли­нию пересечения.

а б

Рисунок 30 – Пересечение плоскостей частного положения

Однако линия пересечения плоскостей может быть определена и другим
образом. Если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая, то одна из проекций линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом. Горизонтальная проекция пт линии пересечения заданных плоскостей лежит на горизонтальном следе S_H горизонтально проецирующей плоскости S. Фронталь­ная проекция линии пересечения опре­деляется линиями связи.

На рис. 30б показаны плоскость общего положения, заданная треуголь­ником АВС, и фронтально проецирую­щая плоскость S. На фронтальной про­екции в пересечении проецирующего следа плоскости S_v со сторонами треу­гольника получим две общие точки 1' и 2' и фронтальную проекцию линии пе­ресечения плоскостей. Горизонтальная проекция определяется с помощью про­ведения линии связи.

Рассмотрим общий случай пересе­чения, когда обе плоскости — общего положения. На рис. 31а приведены две плоскости, заданные следами. Как и в предыдущем примере, общими точками плоскостей являются точки пересече­ния М и N одноименных следов. Соеди­няя одноименные проекции этих точек прямой линией, получим проекции ли­нии пересечения плоскостей.

Если точки пересечения одноимен­ных следов находятся вне поля черте­жа, а также в тех случаях, когда плоско­сти заданы не следами, а другими гео­метрическими элементами, то для оп­ределения линии пересечения плоско­стей следует использовать вспомога­тельные плоскости уровня (рис. 31б) — горизон­тальные или фронтальные.

Рисунок 31 – Пересечение плоскостей общего положения

Прямая может находиться в плоскости, быть параллельной ей или пересекать плоскость.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. Поэтому, чтобы провести через заданную точку прямую, параллельную плоскости, надо, сначала провести в плоскости произвольную прямую, а затем провести через точку искомую прямую, параллельную прямой, принадлежащей плоскости (рис. 32).

Если прямая не принадлежит плоскости и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на определение точки пересечения прямой линии с плоскостью является одной из основных в начертательной геометрии.

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость зани­мает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определя­ется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи (рис. 33).

Рисунок 32 – Построение прямой параллельной плоскости

Рисунок 33 – Построение точки пересечения прямой

с плоскостями частного положения

На рис. 30 показаны точки пересечения (точки К) прямой АВ с фрон­тально проецирующей и профильно проецирую­щей плоскостями. Искомые точки (точки К) отмечены из следующих соображений. Точка пересечения прямой с плоскостью есть точка, принадлежащая как прямой, так и плоскости (общая точка). Следовательно, проекции ее, исходя из принадлежности ее прямой, должны лежать на одноименных проекциях прямой, а исходя из принадлежности ее плоскости — на соответствующем следе плоскости. Точка, удовлетворяющая этим требованиям — единственная, это точка К.

Если плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоско­стью определяется с помощью вспомо­гательной секущей плоскости.

Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходимо (рис. 34):

1) провести через прямую DE вспомогательную проецирующую пло­скость S;

2) построить линию MN пе­ресечения данной плоскости и вспомо­гательной;

3) определить искомую точку К пересечения данной прямой DE с линией пересечения плоскостей MN;

4) определить видимость участков прямой.

а б

Рисунок 34 – Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения: а –модель; б – эпюрыэтапов построения точки К

Плоскости (в том числе и плоскости проек­ций) обычно считаются непрозрачными. Поэто­му та часть прямой линии, которая находится за плоскостью, невидима. На рис.33, например, не­видимая часть изображена штриховой линией. Видимость прямой относительно плоскости может быть очевидна. Однако так бывает далеко не всегда. В общих случаях ви­димость определяется конкурирующими точка­ми — точками, лежащими на одном перпенди­куляре к плоскости проекций (см. рис. 16в, 35). На рис. 35 отно­сительно плоскости проекций V видимой будет точка 2, относительно плоскости проекций Н — точка 3, т. е. относительно какой-либо плоско­сти проекций видимой будет точка, находящая­ся на большем удалении от нее. Невидимые конкурирующие точки, как правило, помещаются в скобки.

Рисунок 35 – Конкурирующие точки модель и эпюр

Аналогично находят линию пересечения двух плоскостей, например, заданных треугольниками, и определяют видимость участков плоскостей, (рис.36). На рис. 36 приведены две плоскости общего положения, заданные треуголь­никами ABC и DEF. Для построения линии пересечения плоскостей следует определить две точки этой линии. Ими являются точки пересечения сторон од­ного треугольника с плоскостью друго­го. Точка М линии пересечения опреде­лена с помощью горизонтально проеци­рующей плоскости S, проведенной че­рез сторону EF треугольника DEF, а точка N линии пересечения определена с помощью фронтально проецирующей плоскости Т, проведенной через сторону ВС треугольника ABC.

Таким образом, здесь дважды при­менена рассмотренная ранее задача на пересечение прямой линии с плоскостью.

Прямая перпендикулярна плоскости, если ее проекции перпендикулярны одноименным следам плоскости или соответствующим проекци­ям горизонтали и фронтали (рис. 37). На рис. 37а, б показана прямая АВ, перпендикулярная плоскости Р, задан­ной следами. Проведем в плоскости Р через точку В горизонталь. На основе правила проецирования прямого угла угол, образованный перпендикуляром АВ и горизонталью, будет проецироваться на плоскости Н прямым (угол abn=90°). Аналогичный вы­вод можно сделать и в отношении фрон­тальной проекции перпендикуляра.

Для того чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости, задан­ной треугольником BCD (рис. 37в), не следует строить следы плоскости. Не­обходимо сначала построить в плоско­сти горизонталь и фронталь, а затем провести проекции перпендикуляра под прямым углом к одноименным проекци­ям горизонтали и фронтали.

Таким образом, если прямая пер­пендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна и самой пло­скости.

Пусть требуется определить рас­стояние от точки до плоскости. Ины­ми словами, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.

Задача решается в три этапа, каж­дый из которых представляет собой од­ну из рассмотренных ранее задач:

1) определить направление проекций пер­пендикуляра к плоскости (рис. 37);

2) построить точку пересечения прямой (перпендикуляра) с плоскостью (рис. 34);

3) определить длину перпендикуляра способом прямоугольного треугольника (рис. 13).

а  

б в

Рисунок 37 – Перпендикуляр к плоскости: а – модель; б - перпендикуляр к плоскости, заданной следами; в – перпендикуляр к плоскости треугольника

Рисунок 38 – Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпен­дикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой. На рис. 38 проведена прямая АВ, перпендикулярная плоскости, за­данной в одном случае следами, а в дру­гом — горизонталью и фронталью. Через прямую А В можно провести множе­ство плоскостей, перпендикулярных данной плоскости. Следовательно, ис­комая плоскость, заданная пересекаю­щимися прямыми АВ и АС, будет пер­пендикулярна плоскостям Р и HNF.

Дата добавления: 2014-01-05