Основные понятия в теории полезности

Пусть L - лотерея, которая приводит к выигрышам (действиям) х₁, х₂,…, х_n с соответствующими вероятностями p₁, p₂, …, p_n, и соответствующими полезностями U(X₁), U(X₂), … U(X_n).

Обозначим ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) через :

(1)

Математическое ожидание полезности, т.е. ожидаемую полезность выигрыша, определяют по формуле:

, (2)

т.е. полезность набора результатов совпадает с математическим ожиданием полезности результатов.

Определение: ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятности исходов на значение полезностей этих исходов.

Детерминированный эквивалент лотереи. Страховая сумма

Взаимосвязь риска с полезностью определяется понятием детерминированного эквивалента лотереи.

Детерминированный эквивалент лотереи L — это гарантированная сумма , получение которой эквивалентно участию в лотерее и гарантирует ЛПР такую же самую полезность, как и участие в рискованном деле, то есть ~ L. т.е. определяется из равенства:

или , (3)

где U ^-1— функция, обратная к функции U(х).

Премию (надбавку) за риск в лотереи определяют как разницу между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом.

. (4)

По своему физическому смыслу премия за риск (надбавка за риск) p (Х) — это сумма (в единицах измерения критерия х), которой ЛПР согласен пожертвовать (уступить ее) из среднего выигрыша (т.е. эта сумма меньше, чем математическое ожидание выигрыша), чтобы избежать риска, связанного с лотереей, и получить гарантированный доход.

Перед ЛПР может стать проблема, которая состоит в том, что ЛПР стремится отказаться от лотереи, которая менее привлекательная, чем состояние, в котором пребывает ЛПР. В этом случае возникает вопрос, сколько б ЛПР заплатил (в единицах измерения), чтобы не участвовать в лотереи (избежать ее). Эту величину называют страховой суммой.

Страховой суммой (СС) называют величину детерминированного эквивалента, взятую с противоположным знаком:

СС(Х) = - . (5)

ВЫВОДЫ

Дата добавления: 2014-01-05