Уравнения движения жидкости в напряжениях

Получим общие уравнения движения жидкости, устанавливающие связь между внешними и внутренними силами, действующими на нее.

Выделим в движущейся жидкости произвольный жидкий объем V, ограниченный поверх-ностью S (рис.5), а внутри этого объема – элемен-тарную частицу с массой rdV и поверхностью dS. К этой частице приложены массовые силы с напря-жением и поверхностные силы с напряжением . Запишем уравнение движения этой частицы, исходя из второго закона Ньютона, обозначая ускорение центра тяжести частицы ,

. (1.14)

Просуммируем левую и правую части этого уравнения. Суммирование первых двух членов сводится к интегрированию по объему, а третьего члена – по площадкам, которыми элементарные частицы соприкасаются друг с другом. Согласно третьему закону Ньютона, поверхностные силы по всем внутренним площадкам взаимно уничтожаются, останутся только поверхностные силы по площади S, ограничивающей объем V,

. (1.15)

Преобразуем третий член (1.15), используя зависимость (1.9),

. (1.16)

Применим к правой части этого равенства преобразование Гаусса-Остроградского, устанавливающее связь между объемным и поверхностным интегралами,

(1.17)

Подставляя левую часть (1.17) в уравнение (1.15), получим

(1.18)

Все члены в уравнении (1.18) интегрируются по объему. Уравнения (1.15) и (1.18) являются уравнениями движения жидкого объема в интегральной форме. При этом левая часть представляет собой главный вектор сил инерции, первое слагаемое правой части – главный вектор массовых сил, второе – главный вектор поверхностных сил.

Получим дифференциальную форму уравнения движения, более удобную для изучения движения жидкости. Объединим все члены уравнения (1.18) под знаком интеграла, перенося силу инерции в правую часть,

. (1.19)

Ввиду произвольности объема этот интеграл обращается в ноль только тогда, когда нулю равна подынтегральная функция

. (1.20)

В итоге получим дифференциальное уравнение движения жидкости в напряжениях

, (1.21)

которое связывает ускорения с напряжениями массовых и поверхностных сил в данной точке потока и справедливо как для вязкой, так и для невязкой жидкости.

Проектирую векторное уравнение (1.21) на оси координат, будем иметь систему трех скалярных уравнений

(1.22)

Эта система основных уравнений движения жидкости, служащая для разработки гидродинамики вязкой и невязкой жидкости.

Уравнения движения жидкости в напряжениях (1.22) не могут быть проинтегрированы, т.е. решены в общем случае, так как система уравнений незамкнута – три уравнения при двенадцати неизвестных. Далее будет показано, что в определенных случаях движения жидкости система (1.22) упрощается и может быть получено решение, позволяющее определить силовое взаимодействие между жидкостью и твердым телом или между потоком жидкости и твердыми стенками.

ГЛАВА II

Гидростатика

Дата добавления: 2014-01-05