Оптимальная фильтрация

Идеальный приемник обеспечивает максимальную вероятность правильного обнаружения сигнала на фоне помех, его принято называть оптимальным.

Критерием качества приема сигнала может служить отношение правдоподобия. Для случая, когда на вход прибора поступает аддитивная смесь полезного сигнала и нормальной помехи , отношение правдоподобия сводится к виду:

(1)

где ; - параметр, по которому оценивается качество приема (время, пространственная координата).

Видно, что максимальное правдоподобие между переданным и принятым сигналами достигается при обеспечении максимума их функции взаимной корреляции, т.е. идеальный приемник должен быть приемником корреляционного типа. Реализация такого приемника связана с большими трудностями. На практике используют другие методы приема сигналов при наличии помех. Наиболее распространенный метод – оптимальная фильтрация.

Если сигнал заранее известен и его нужно только обнаружить, можно просто определить передаточную функцию оптимального фильтра. Выражение для сигнала на выходе системы с импульсной характеристикой :

(2)

и отношение правдоподобия для оптимальной приемной системы.

Для оптимального приема, т.е. для достижения максимальной идентичности этих двух выражений, необходимо обеспечить идентичность функций и . Поскольку аргумент входит в и с разными знаками, нужна идентичность не просто функций и , но и идентичность одной из них зеркальному изображению другой, т.е.

. (3)

Величина учитывает возможный сдвиг начал отсчета функций и и влияет только на фазу выходного сигнала. Для пространственных фильтров, в отличие от временных, часто этот сдвиг можно принять равным нулю, т.е. принять, что выходной и входной сигналы формируются в одной системе координат ().

, (4)

т.е. импульсная характеристика оптимальной системы обнаружения с точностью до постоянного множителя является зеркальным изображением полезного входного сигнала .

Величина является постоянным, не зависящим от , коэффициентом, который учитывает нормировку функций и , а также различие в их размерностях. Например, характеризует пространственное распределение яркости L на входе объектива, а - распределение освещенности Е в изображении точечного источника, коэффициент должен учитывать переход от L к Е.

Условие оптимальности фильтра обнаружения можно найти и несколько другим путем. Если представить выходной сигнал как сумму полезного сигнала и шума, т.е. , причем

, ,

то можно заметить, что сигнал является функцией взаимной корреляции и , которая будет максимальна при идентичности и , при .

Наедем передаточную функцию оптимального фильтра. Для этого преобразуем по Фурье выражение (3)

(5)

где - функция комплексно-сопряженная спектру входного сигнала ; - частота; - параметр, по которому ведется анализ (угол, время и т.д.).

При условии равенства модулей имеем

, (6)

т.е. амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра при сделанных выше допущениях с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром входного сигнала.

Такой оптимальный фильтр называют согласованным, поскольку его частотная характеристика целиком определяется спектром сигнала, т.е. должна быть согласована с ним.

Определим выражение для величины сигнала на выходе оптимального фильтра. Применяя обратное преобразование Фурье к спектру сигнала на выходе фильтра, получаем

(7)

и подставляя сюда (5), получаем

С учетом того, что , а также пренебрегая фазовым сдвигом выходного сигнала, т.е. принимая , получаем

(8)

В соответствии с равенством Парсеваля интеграл

(9)

есть полная энергия сигнала, т.е. пиковое значение выходного сигнала равно

. (10)

Когда на выходе системы имеет место гауссовский шум (помеха) со спектральной плотностью на входе , то и на выходе оптимального фильтра он останется гауссовским. Спектр мощности помех на выходе фильтра равен

(11)

Дисперсия шума на выходе равна

(12)

Тогда соотношение сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра можно представить в следующем виде

(13)

Максимально достижимое отношение сигнал/помеха зависит только от энергии входного сигнала и спектральной плотности мощности белого шума на выходе фильтра.

Выражение получено для случая , т.е. для шума с равномерной спектральной плотностью в рабочей полосе частот.

Хотя выражения получены для идеализированных оптимальных систем, они весьма полезны и в практике расчета реальных приборов, так как позволяют рассчитать предельно достижимые значения отношений сигнал/помеха, а также установить критерий оптимальности реальных приборов по степени их приближения к оптимальной схеме.

Все выводы действительны и для многомерных функций.

Реализация согласованных фильтров, особенно оптических, затруднена. Поэтому обычным способом оптимальной фильтрации является согласование полосы пропускания фильтра с полосой частот, занимаемой полезным сигналом. Фильтр с оптимальной полосой пропускания , при которой используется большая часть энергии сигнала, называется квазиоптимальным. Известна зависимость между шириной спектра сигнала в виде одиночного импульса и шириной импульса :

.

При входном сигнале в виде пачки импульсов частотная характеристика согласованного фильтра заметно усложняется. Обычно в этом случае ограничиваются первой полуволной спектра одиночного импульса, из которого составлена пачка, т.е. полосой . Требуемое число узкополосных фильтров в этом случае равно скважности импульсов.

При переходе от одиночного импульсного сигнала к сигналу в виде пачки импульсов той же формы выигрыш в отношении сигнал/помеха составляет столько раз, сколько одиночных импульсов содержится в пачке.

Таким образом, оптимальным фильтром называют такую линейную систему обнаружения сигнала с полностью известными параметрами, которая осуществляет обнаружение наилучшим образом, т.е. обеспечивает максимум отношения сигнала к шуму на выходе при заданных вероятностях обнаружения и ложной тревоги.

Математическое выражение для коэффициента передачи оптимального фильтра может быть настолько сложным, что высказать даже ориентировочные предположения о схеме фильтра крайне трудно.

Характеристикой качества любого линейного фильтра может служить величина:

,

показывает во сколько раз отношение сигнал/шум на выходе этого фильтра меньше отношения сигнал/шум на выходе оптимального фильтра.

Дата добавления: 2014-01-05