Модификации алгоритма обработки экспериментальных данных

Первая модификация алгоритма. Рассмотренный в разделе 3.4 алгоритм можно путем модификации привести к алгоритму, рассмотренному в разделе 3.2. Для модификации простейшего алгоритма, вместо величины D(N) на N -ом такте при задании длины шага S_N для общего выражения алгоритма (3.6), можно использовать изменение этих величин D(N) – D(N + 1) от шага к шагу, то есть градиент. Для того чтобы определить данную величину, преобразуем уравнение (3.6) к виду

= .

Из данного уравнения следует, что если процесс описывается линейным уравнением (3.7), то для получения оценок параметров процесса на основании контроля выходов, можно использовать следующий алгоритм:

x_i (N)=

= x_i (N –1)+g _i [ y (N)– _i (N –1) x_i (N)][ _i ²(N)]^–1 k_i (N), (i = 1, 2,..., n), (3.16)

где x_i (N) – оценки параметров измеряемого процесса в N -м такте; g _i – весовые коэффициенты (константы). Таким образом, модифицированный алгоритм полностью совпадает с алгоритмом, проанализированным в разделе 3.2.

В векторной форме этот же алгоритм может быть записан в виде

x (N) = x (N – 1) + Г [ y (N) – k ^T(N – 1) x (N)](k ^T(N) k (N))^–1 k (N), (3.17)

где Г = – диагональная матрица.

Вторая модификация алгоритма. Целью дальнейшей модификации рассмотренного в разд. 3.4 алгоритма является увеличение его сходимости. Для анализа возможностей данного алгоритма воспользуемся введенным в разделе 3.4 вектором ошибки q _x (N), и формулу (3.8) можно переписать в виде

q _xi (N)=q _xi (N –1)–g _i [ _xi (N –1) k_i (N)][ _i ²(N)]^–1 k_i (N), (i = 1, 2,..., n). (3.18)

Возведя в квадрат обе части равенства (3.18) и упростив их, получим

q _x ^T(N) q _x (N)= q _x ^T(N –1) q _x (N –1){1–[ q _x ^T(N –1) k (N)]²/[q^T(N –1)´

´q(N –1) k ^T(N) k (N)]}.

В фигурных скобках данного уравнения, как и в уравнении (3. 4) для риска общего алгоритма оценки (3. 5), стоит квадрат синуса угла между векторами q _x (N – 1) и k (N), то есть sin²(q _x (N –1) k (N)). Таким образом, q _x ^T(N) q _x (N) не больше, чем q _x ^T(N – 1) q _x (N – 1), а сумма квадратов ошибок определения всех коэффициентов не может увеличиться ни при каком изменении воздействий на входе.

Чтобы в произвольном шаге произошло уменьшение ошибки (если она не равна нулю), достаточно, чтобы вектор входных воздействий x (N) не был параллелен предыдущему вектору входных воздействий x (N – 1). В этом случае синус не будет равен единице, и ошибка уменьшится, то есть в модифицированном алгоритме таким образом определяется оптимальное направление s_N поиска оценки результата измерения. В общем случае необходимо, чтобы во входном воздействии чередовались, по крайней мере, n линейно-независимых векторов, и наибольшее быстродействие одношаговый алгоритм (адаптивный) обеспечивает при подаче на входы объекта ортогональных векторов, что возможно только по управляемым входам при проведении активного эксперимента и невозможно по наблюдаемым каналам.

Рассмотренный алгоритм определяет параметры объекта при произвольных начальных условиях, причем сумма квадратов ошибок определения всех параметров монотонно уменьшается. При случайных входных векторах, алгоритм обеспечивает сходимость в среднем квадратическом. Каким бы ни был выбран вектор начальных оценок x (0), если корреляционная матрица входных переменных не вырождена, после достаточно большого количества итерации x (N) сколь угодно мало будет отличаться от вектора x.

Дата добавления: 2014-01-05