Определение весовых коэффициентов алгоритма

Значение весовых коэффициентов алгоритма. В формулы (3.8, 3.13) для уменьшения влияния погрешности введен параметр g. Этот параметр следует увеличивать при увеличении величины погрешности. Однако погрешности редко бывают известны заранее, поэтому трудно вычислить оптимальное g. Исследуем в связи с этим, как влияет на скорость сходимости неоптимальный выбор g, то есть алгоритм уточнения (3.9). Умножая скалярно q (N) на q (N), из формулы (3.9) получаем выражение для суммарной ошибки:

q ^T(N) q (N) = q ^T(N – 1) q (N – 1) + {[ q ^T(N – 1) k (N)]² k ^T(N) k (N)}´

´[g+ k ^Т(N) k (N)]^–2 – 2[ q ^T(N – 1) k (N)]²[g + k ^T(N) k (N)]^–1. (3.22)

Условие сходимости сводится к тому, что ошибка в N -м такте q ^T(N) q (N) меньше ошибки в предыдущем такте q ^T(N –1) q (N –1), т. е. должно быть

Q (N) = q ^T(N – 1) q (N – 1) – q ^T(N) q (N) > 0. (3.23)

Из выражений (3.22) и (3.23) следует, что

Q (N) = [ q ^T(N – 1) k (N)]²[2g + k ^T(N) k (N)][g + k ^T(N) k (N)]^–2.

Чем больше величина Q, при прочих равных условиях, тем лучше алгоритм. Очевидно, что условие сходимости не нарушается при любом неотрицательном g, а максимальная величина шага, при отсутствии помех, будет при g равном нулю. Исследуем влияние величины у на скорость сходимости алгоритма. Учтем, что при g=0 использование одних и тех же исходных данных для многократного исправления оценок коэффициентов по алгоритму (3.14) не имеет смысла, так как дополнительного уточнения оценок не происходит. Но при g ¹ 0 повторные подстановки приводят к изменению оценок.

Произведем уточнение оценок по формуле

x (N) = x (N – 1) + D(N) k (N),

где скаляр

D(N) = q ^T(N – 1) k (N)[g + k ^T(N) k (N)]^–1.

Поскольку вектор x (N + 1) равен вектору x (N), то для D(N +1) получим

D(N + 1) = q (N) k (N + 1)[g + k ^T(N + 1) k (N + 1)]^–1.

Выражая D(N + 1) через D(N), получаем

D(N + 1) = g[g + k ^T(N) k (N)]^–1D(N).

После s -кратного использования одних и тех же данных, произведя такую операцию s раз и вычислив соответствующие оценки, получим

x (N + s)=

= x (N –1)+{1– [g/(g + k ^T(N) k (N))] ^s }{1– g[g + k ^T(N) k (N)]^–1}D(N) k (N).

В пределе при s ® ¥ формула упростится и примет вид

x (N + ¥) = x (N – 1) + q ^T(N – 1) k (N)[ k ^T(N) k (N)]^–1 k (N).

Используя повторные подстановки бесконечное число раз для любого g, получим тот же результат, что при одном, но оптимальном шаге. Иначе говоря, при g, не равном нулю, выгодно производить уточнение оценок параметров вычислительной модели AОЭИ, даже если входные воздействия не изменяются.

Выбор величины весовых коэффициентов алгоритма. Анализ характеристик качества АОЭИ в работе [3] показал, что при определении характеристик его вычислительной модели, входные и выходные воздействия которых измеряются с погрешностями, для увеличения сходимости алгоритма выбирают величину параметра g. При неточном задании входного и неточного измерения выходных величин, оптимальное значение для i -ого шага равно

g_опт(N) = _i ²(N){e²(N) + [ _i d _i (N)]²}[ _i (N – 1) z_i (N)]^–2.

Для упрощения данного выражения учтем, что среднее значение суммы _i ²(N) в его числителе при нормированных к дисперсии входах равно n. Второй сомножитель в числителе (сумма ошибки измерения выхода и приведенных к выходу погрешностей измерения входных переменных) – это минимально возможная погрешность предсказания. В знаменателе стоит погрешность предсказания выхода по контролируемым входам. Для параметра g, обеспечивающего максимальную скорость сходимости на границе зоны сходимости, где погрешность предсказания минимальна, при нормированых к дисперсии входных величинах, имеем

g_опт = n, (3.24)

где n – размерность алгоритма.

При больших погрешностях предсказания, больших q^T z (на начальных шагах алгоритма), использование g, равного n, приведет к проигрышу в скорости сходимости по сравнению с максимально возможной, но по мере уточнения модели скорость сходимости будет увеличиваться и приближаться к оптимальной при наличии погрешности измерения. С приемлемой для практики точностью, оптимальное значение g не зависит на границе зоны сходимости от отношения величины переменной к погрешности ее измерения, поскольку с улучшением этого отношения уменьшается и зона сходимости. При отсутствии погрешностей на входе, можно выбирать g меньше, чем задано условием (3.24), а при полном отсутствии погрешностей и вовсе следует принимать g = 0. При использовании одношагового алгоритма никогда не следует увеличивать g больше, чем до n.

Дата добавления: 2014-01-05