Эмпирическое корреляционное отношение и его свойства

Оценка соответствия уравнения регрессии статистическим данным

В качестве меры того, насколько хорошо регрессия описывает данную систему наблюдений служит коэффициент детерминации к выводу которого мы и приступим.

Рассмотрим выборочную дисперсию, характеризующую разброс наблюдаемых значений показателя Y около его среднего значения:.

Эта дисперсия в случае связи между Х и Y должна как можно больше обуславливаться изменением показателя Х.

Дисперсию можно представить в виде:

(2)

где - рассеивание показателя Y, обусловленное влиянием показателя Х.

- остаточная дисперсия, возникающая из-за случайных и неучтенных факторов.

Из формулы (2) следует, что чем больше по отношению к, тем больше общая дисперсия формируется за счет показателя Х, участвующего в регрессии, и следовательно связь между Х и Y более интенсивна. Поэтому в качестве показателя интенсивности связи используют отношение:

(3)

которое и указывает, какая часть общей дисперсии обусловлена изменением показателя Х. Отношение (3) называется коэффициентом детерминации.

Коэффициент детерминации удовлетворяет следующим свойствам:

1..

2. Если, то между зависимой и независимой переменными существует однозначная функциональная связь.

3. Если, то регрессионная зависимость отсутствует.

Из приведенных свойств коэффициента детерминации следует, что чем больше В приближается к 1, тем лучше определена регрессия.

Из равенства (2) следует, что чем больше, тем неопределеннее становится связь между показателем Y и показателем Х. Поэтому можно использовать для характеристики неточности регрессии.

Ранее мы рассмотрели коэффициент корреляции r, который характеризовал тесноту линейной корреляционной связи между показателями Х и Y. Если же кривые регрессии отличаются от прямолинейной формы, то в качестве меры связи используют корреляционное отношение, введенной Пирсоном. Оно является показателем, характеризующим концентрацию распределения около кривых регрессии.

Его определяют по сгруппированным данным, т.е. для каждого наблюдаемого значения показателя Х вычисляют условное(групповое) среднее показателя, т.к. каждому значению соответствует условное распределение показателя.

Если статистические данные представлены в виде двумерной выборки, то весь диапазон изменения Х разбивают на интервалов (должно быть не менее 8-10) и для каждого -го интервала с центром в точке подсчитывают условное среднее значение по формуле:

, где - число точек. абсциссы которых попали в -й интервал.

Если распределение задано в виде таблицы (корреляционная таблица, таблица сопряженности)

Y X	y1	y2	…	yj	…	ym	nxi
x1	n11	n12	…	n1j	…	n1m	nx1
x2	n21	n22	…	n2j	…	n2m	nx2
	…	…	…	…	…	…	…
xi
	…	…	…	…	…	…	…
xl
nyj	ny1	ny2	…	nyj	…	nym	n

где - частоты пар переменных, а сумма их дает, то

.

Далее вычисляют межгрупповую дисперсию Y и выборочную дисперсию с.в. Y:

Для первого случая:

Для второго случая:

Определение. Корреляционным отношением Y на Х называется отношение межгруппового среднего квадратического отклонения Y к общему среднему квадратическому отклонению этой с.в. Y, т.е.:

.

Свойства корреляционного отношения.

1.

2. Если, то показатели Х и Y - некоррелированные.

3. Если, то между Х и Y существует функциональная зависимость, т.е..

4. Если, то регрессия Y на X – линейная.

Замечание. Величину используют в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Пример. Вычислить статистическое корреляционное отношение по данным примера 1. Т.к. статистически данные заданы парами, то разобьем множество значений на 8 интервалов:

,

Тогда.

Следовательно, между Y и Х существует тесная корреляционная

зависимость вида.

Дата добавления: 2014-01-05