Определение. Теорема: свойства операции транспонирования

Определение.

Теорема: свойства операции транспонирования.

Теорема: свойства операции умножения матриц.

Определение.

Теорема.

Определение.

Теорема: свойства операций сложения матриц.

Определение.

Определение.

Определение.

Определение.

Определение.

Определение.

Определение.

Матрицей размера будем называть таблицу, состоящую из строк и столбцов, элементами которой являются действительные числа. Множество всех матриц размера будем обозначать. Обозначать матрицы будем большими латинскими буквами ()а их элементы – малыми (), где индекс указывает на номер строки, в которой находится элемент, а индекс - на номер столбца.

Пример:

Матрица называется квадратной, если у нее число строк равно числу столбцов.

Элементы матрицы вида образуют главную диагональ матрицы.

Пример:

Квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, и все остальные равны 0, называется единичной и обозначается.

Нулевой матрицей будем называть матрицу, все элементы которой равны 0. Обозначается О.

Суммой двух матриц A и B, имеющих одинаковый размер, то есть, их суммой будем называть матрицу, обозначающую, элемент которой вычисляется следующим образом:.

Пример:

Для данной матрицы А, имеющей размер, противоположной будем называть матрицу такую, что.

1) (коммутативность)

2) (ассоциативность)

Доказательство:

Докажем ассоциативность:

Это означает, что выражения в левой и правой частях равенства равны.

Таким образом, свойство ассоциативности выполняется.

Произведением матриц на будем называть матрицу, обозначаемую, элемент.

Верны следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

Произведением двух матриц и будем называть матрицу, у которой элемент.

Пример:

Правило умножения матриц можно сформулировать следующим образом: равен сумме произведений соответствующих элементов -той строки матрицы А на -тый столбец матрицы В.

1) (ассоциативность)

2) (дистрибутивность)

3)

таковы, что все произведения определены.

Доказательство:

Докажем 2-е свойство:

Пусть:

Таким образом очевидно, что, и таким образом.

Докажем 3-е свойство:

Таким образом,.

Пусть матрица. Матрица называется транспонированной матрицей, если выполняется следующее равенство:

1)

2)

3)

Тема: определители

Последовательностью составленной из первых n натуральных чисел будем называть перестановкой первых nнатуральных чисел. Перестановка вида называется натуральной.

Будем говорить, что элементы перестановки и образуют инверсию, если и.

Пример:

Число инверсий в перестановке обозначается, - перестановка.

Если число инверсий в перестановке четно, то она четная, если нечетной – нечетная.

Дата добавления: 2014-01-05