Определение. Перемену мест двух элементов перестановки и будем называть транспозицией

Теорема.

Теорема.

Определение.

Перемену мест двух элементов перестановки и будем называть транспозицией.

Четность перестановки при транспозиции меняется.

Доказательство:

1. Рассмотрим перестановку.

Пусть элементы и являются соседними в этой перестановке. Транспозиция этих двух элементов не влияет на то, образуют ли они инверсию с соседними элементами перестановки. В случае, если эти два элемента сами образовывали инверсию, то при транспозиции она исчезнет и наоборот, и таким образом, четность перестановки изменится.

2. Пусть и разделены между собой элементами перестановки. Для того, чтобы элемент поменять местами с, нам необходимо последовательно осуществить транспозиций соседних элементов, а для того, чтобы поместить на позицию, необходимо сделать транспозиций. Таким образом, нам необходимо осуществить транспозиций. Таким образом, четность перестановки будет меняться на нечетное число раз, и следовательно изменится.

Пусть дана перестановка. Если упорядочить элементы этой перестановки по возрастанию, то четность исходной перестановки будет равна четности перестановки, составленной из нижних индексов исходной перестановки после упорядочивания.

Доказательство:

Дана перестановка. После упорядочивания по возрастанию получаем. Рассмотрим элементы и. Для них возможны две ситуации: если они не образуют инверсию, то их нижние индексы не будут образовывать инверсию в перестановке и наоборот, если и образуют инверсию, то их нижние индексы также будут образовывать инверсию в перестановке. Таким образом, число инверсий в этих перестановках совпадает.

Определителем квадратной матрицы размера будем называть сумму всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы, взятых со знаком «+», если перестановка, составленная из номеров столбцов элементов (элементы произведения, предполагается, упорядочены по строкам), четна и со знаком «-», если она нечетна.

Пример:

Пусть

Таким образом, мы получили правило треугольника.

Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Доказательство:

Рассмотрим произвольное слагаемое определителя матрицы:

Выпишем это произведение для транспонированной матрицы:

Упорядочим элементы произведения по первым индексам, то есть номерам строк:

Перестановка имеет то же число инверсий, что и перестановка, а значит и знак будет тот же самый.

Таким образом, соответствующие слагаемые в определителе будут совпадать, и сам определитель не меняется.

Замечание. Из доказанного свойства следует, что свойства, доказанные для строк определителя, будут верны и для его столбцов и наоборот.

2. Если определитель содержит строку, состоящую из одних нулей, то он равен нулю.

3. Если в определителе поменять местами 2 строки, то определитель сменит знак.

Доказательство:

Действительно, если поменять местами 2 строки в определителе, то соответствующие перестановки поменяют четность, и следовательно, перед каждым слагаемым поменяется знак, и следовательно, вест определитель сменит знак.

5.

Обозначим определитель в левой части через, а в правой части – через и. Выпишем произвольный член определителя:.

Таким образом, произвольный член определителя мы представили в виде суммы соответствующих членов определителей и и сам.

6..

7. Если к некоторой строке определителя прибавить некоторую другую его строку, умноженную на действительное число, то определитель не изменится.

Пусть дан определитель

Прибавим к -той строке определителя, -тую строку, умноженную на.

Таким образом определитель не изменился после добавления к -той строке -той строки, умноженной на.

8. Если в определителе имеются две пропорциональных строки, то определитель равен 0.

Тема: миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа

Дата добавления: 2014-01-05