Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение. Перемену мест двух элементов перестановки и будем называть транспозицией

Теорема.

Теорема.

Определение.

Перемену мест двух элементов перестановки и будем называть транспозицией.

Четность перестановки при транспозиции меняется.

Доказательство:

1. Рассмотрим перестановку.

Пусть элементы и являются соседними в этой перестановке. Транспозиция этих двух элементов не влияет на то, образуют ли они инверсию с соседними элементами перестановки. В случае, если эти два элемента сами образовывали инверсию, то при транспозиции она исчезнет и наоборот, и таким образом, четность перестановки изменится.

2. Пусть и разделены между собой элементами перестановки. Для того, чтобы элемент поменять местами с, нам необходимо последовательно осуществить транспозиций соседних элементов, а для того, чтобы поместить на позицию, необходимо сделать транспозиций. Таким образом, нам необходимо осуществить транспозиций. Таким образом, четность перестановки будет меняться на нечетное число раз, и следовательно изменится.

Пусть дана перестановка. Если упорядочить элементы этой перестановки по возрастанию, то четность исходной перестановки будет равна четности перестановки, составленной из нижних индексов исходной перестановки после упорядочивания.

Доказательство:

Дана перестановка. После упорядочивания по возрастанию получаем. Рассмотрим элементы и. Для них возможны две ситуации: если они не образуют инверсию, то их нижние индексы не будут образовывать инверсию в перестановке и наоборот, если и образуют инверсию, то их нижние индексы также будут образовывать инверсию в перестановке. Таким образом, число инверсий в этих перестановках совпадает.

Определителем квадратной матрицы размера будем называть сумму всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы, взятых со знаком «+», если перестановка, составленная из номеров столбцов элементов (элементы произведения, предполагается, упорядочены по строкам), четна и со знаком «-», если она нечетна.

 

Пример:

Пусть

 

 

 

 

Таким образом, мы получили правило треугольника.

Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Доказательство:

Рассмотрим произвольное слагаемое определителя матрицы:

 

Выпишем это произведение для транспонированной матрицы:

 

Упорядочим элементы произведения по первым индексам, то есть номерам строк:

 

Перестановка имеет то же число инверсий, что и перестановка, а значит и знак будет тот же самый.

 

Таким образом, соответствующие слагаемые в определителе будут совпадать, и сам определитель не меняется.

Замечание. Из доказанного свойства следует, что свойства, доказанные для строк определителя, будут верны и для его столбцов и наоборот.

2. Если определитель содержит строку, состоящую из одних нулей, то он равен нулю.

3. Если в определителе поменять местами 2 строки, то определитель сменит знак.

Доказательство:

Действительно, если поменять местами 2 строки в определителе, то соответствующие перестановки поменяют четность, и следовательно, перед каждым слагаемым поменяется знак, и следовательно, вест определитель сменит знак.

5.

Обозначим определитель в левой части через, а в правой части – через и. Выпишем произвольный член определителя:.

Таким образом, произвольный член определителя мы представили в виде суммы соответствующих членов определителей и и сам.

6..

7. Если к некоторой строке определителя прибавить некоторую другую его строку, умноженную на действительное число, то определитель не изменится.

Пусть дан определитель

 

Прибавим к -той строке определителя, -тую строку, умноженную на.

 

 

Таким образом определитель не изменился после добавления к -той строке -той строки, умноженной на.

8. Если в определителе имеются две пропорциональных строки, то определитель равен 0.

Тема: миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Определение. Теорема: свойства операции транспонирования | Определение. Минором K-того порядка матрицы будем называть определитель квадратной матрицы K-того порядка, который находится в kвыбранных строках и столбцах матрицы А
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 387; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.