Планы первого порядка служат для построения математической модели в виде полиномов первой степени (линейных уравнений регрессии)

Полный факторный эксперимент

ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Требования к факторам

Факторы должны быть:

-управляемыми. Управлять фактором – это, значит, установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течение опыта или изменять по заданной программе. В этом состоит особенность активного эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

-однозначными. Факторы должны непосредственно воздействовать на процесс. Трудно управлять фактором, если он является функцией других переменных.

Если имеется совокупность факторов, то они должны быть совместимыми (то есть при любых комбинациях уровней факторов не должно быть взрывов, осмоления продуктов и т.д.) и независимыми друг от друга (отсутствие линейной корреляции). Выбранное множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведет к неправильному определению оптимальных условий или к большой ошибке опыта.

Процессы химической технологии являются сложными. Выражается это в том, что на процесс влияет не один, а ряд факторов. Эксперимент в этом случае называется многофакторным. Планирование эксперимента с целью оптимизации начинают тогда, когда процесс предварительно исследовался. Информация, содержащаяся в предыдущих исследованиях, называется априорной. Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.

  (1)

Полный факторный эксперимент – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов.

Необходимое количество опытов (n) при этом определяется по формуле:

(2)

где N – количество уровней факторов,

k– количество факторов.

Порядок построения плана:

а) на основании априорной информации выбираем наилучшие условия проведения эксперимента и принимаем эту точку за центр плана. Значения факторов в этой точке называют основным, нулевым или центральным уровнем (Х_i^ц);

б) выбираем интервал варьирования для каждого фактора (l) и вычисляем верхний (Х_i^в ) и нижний (Х_i^н) уровни факторов.

Х^в = 300, Х^н = 100, l = 100.

Интервал варьирования – это число (свое для каждого фактора) прибавление которого к основному дает верхний уровень, а вычитание из основного – нижний. Или иными словами – это расстояние на координатной оси между центральным и верхним (нижним) уровнем фактора.

  (3)

Известно, что оптимальными свойствами обладают планы первого порядка, в которых каждый фактор принимает лишь два значения, варьируется на двух уровнях, верхнем и нижнем.

Мы будем изучать только такие планы.

в) кодируем переменные по формулам:

(4)

где х^в, х^н – верхний и нижний уровни факторов в кодированном виде;

Х^в, Х^н – верхний и нижний уровни факторов в натуральном виде.

Кодирование переменных проводят для упрощения вычислений и интерпретации полученных результатов. Координаты центра плана равны 0.

(5)

г) строим матрицу планирования.

Рассмотрим построение матрицы планирования на примере двухфакторного эксперимента.

K= 2 n= 2²=4

Допустим Х ₁ – температура, Х ₂ – давление.

Х ₁ – принимает значения: Х ₁ ^в= 300⁰С, Х ₁ ^н= 100⁰С, Х ₁^ц=200⁰С.

Х ₂ – принимает значения: Х ₂ ^в= 3атм, Х ₂ ^н= 1атм, Х ₂^ц=2атм.

Область факторного пространство для данного эксперимента будет иметь вид (рис. 1) квадрата с вершинами 1,2,3,4.

Перенесем начало координат в точку 5, то есть в центр области факторного пространства. Это действие соответствует переходу к новой безразмерной системе координат с началом в центре исследуемой области.

Рисунок 1 – Область факторного пространства

Координаты точек в новой системе записывают в виде таблицы, называемой матрицей планирования эксперимента (а). Этой матрице соответствует матрица в натуральном виде (б).

Таблица 1 Матрицы планирования эксперимента

n	x1	x2		n	X1	X2
	-1	-1
	+1	-1	(а)				(б)
	-1	+1
	+1	+1

Каждая строка полученной матрицы – это условия проведения одного опыта, в результате которого получают значение параметра (У).

Правило построения матрицы:

-первый столбец матрицы – фиктивная переменная х₀ всегда равна (+1);

-второй столбец – равномерное чередование знака (+) и (-) в столбце(+1,-1, +1,-1) и т.д.;

-третий столбец – чередование двух строк одного знака, двух другого;

-к-ый столбец – чередование 2^(к-1) одноименных знаков.

Например, в 5-ом столбце 2⁴=16 знаков +1 и 16 – минус 1.

Свойства матрицы ПФЭ типа 2^k:

Мы научились строить матрицы ПФЭ с факторами на 2 уровнях (в кодированном виде). Теперь выясним какими свойствами эти матрицы обладают независимо от количества факторов.

Первые два свойства следуют непосредственно из построения матрицы.

1 свойство – симметричность относительно центра эксперимента. Формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна 0, или

(6)

2 свойство – так называемые условия нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна количеству опытов, или

(7)

Эти два свойства позволяют значительно упростить вычисление коэффициентов в_i и дисперсий s _вi.

3 свойство – ортогональность матрицы планирования - сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна 0.

(8)

где j не равен u j,u = 0,1,2…k.

Это свойство позволяет вычислять коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, поэтому после исключения незначимых коэффициентов из уравнения не требуется перерасчет оставшихся коэффициентов b_i.

4 свойство – ротатабельность - точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

д) проводим эксперимент по матрице.

Каждая строка матрицы – это условие проведения одного опыта. В результате эксперимента получаем значение параметра оптимизации (У). Причем, все опыты дублируются для того чтобы можно было рассчитать дисперсию воспроизводимости. Установлено, что наилучших результатов достигают, если проводят не менее 3 параллельных опытов. Порядок опытов в матрице не должен определять реальную последовательность проведения опытов. Опыты должны быть рандомизированы во времени, то есть выполняться в случайном порядке. Особенно это касается параллельных опытов.

е) проводим регрессионный анализ результатов(статистическую обработку результатов).

Обычно, реализуя активный эксперимент проводят одинаковое количество параллельных опытов. Поэтому и применяют первую схему регрессионного анализа,согласно которой вычисляют:

а) построчные математические ожидания (`y_i):

(9)

где m – количество параллельных опытов;

y_i – результаты эксперимента;

в) построчные дисперсии (S_i²):

(10)

г) проверяют однородность построчных дисперсий по критерию Кохрена:

(11)

если G_p <G_табл. – дисперсии однородны,

где G_р – расчетный критерий Кохрена,

G_табл – табличный критерий Кохрена,

S²_max – максимальная построчная дисперсия,

n – количество опытов;

д) дисперсию воспроизводимости (S² _воспр):

(12)

е) методом наименьших квадратов вычисляем коэффициенты уравнения регрессии (в_i ). В связи с тем, что матрица планирования симметрична и нормирована формулы для вычисления в_i значительно упрощаются и

выглядят следующим образом:

(13)

где x_ij – значения факторов в кодированном виде;

(14)

ж) проверяем значимость коэффициентов в_i по критерию Стьюдента:

(15)

где t_p –расчетный критерий Стъюдента;

S_bi – дисперсия коэффициентов b_i;

t_табл.- табличный критерий Стъюдента.

16)

если t_р>t_{табл .} – коэффициент в_i значим, в противном случае – не значим. Исключаем незначимые факторы из уравнения регрессии.

Значимость коэффициента bi свидетельствует о том, что фактор, соответствующий этому коэффициенту, оказывет существенное влияние на процесс.В противном случае, фактор в пределах области факторного пространства не оказывает существенного влияния на процесс и поэтому из дальнейших расчетов исключается.

з) проверяем адекватность уравнения регрессии по критерию Фишера (F):

(17)

где Fр – расчетный критерий Фишера;

S_ад² – дисперсия адекватности;

S_воспр² – дисперсия воспризводимости.

(18)

где у_i^р - расчетный параметр оптимизации;

l – количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии, считая b₀.

Находим табличный критерий Фишера, который зависит от степеней свободы числителя и знаменателя.

Значения степеней свободы для числителя (f_ч) и знаменателя(f_зн) вычисляют по формулам:

f_ч = n – l; f_зн = (m – 1). (19)

Если F_р<F_табл. – уравнение адекватно. В противном случае –неадекватно и следует перейти к планам более высокого порядка.

Дата добавления: 2014-01-05