Выпуклые игры

Определение. Игра называется выпуклой, если множества управлений всех игроков представляют собой выпуклые компактные множества конечномерных евклидовых пространств, и для любого i функция выигрыша i-го игрока gi вогнута по ui при фиксированных управлениях остальных игроков.

Теорема. В выпуклой игре существуют ситуации равновесия по Нэшу

Доказательство. Для доказательства теоремы с минимальными изменениями проходят рассуждения из приведенного выше доказательства теоремы Какутани о существовании седловой точки в выпуклой игре. Чтобы не повторяться, приведем другое доказательство, основанное на одной из доказанных выше лемм.

Сначала докажем теорему для частного случая, когда любого i функция выигрыша i-го игрока gi строго вогнута по ui при фиксированных управлениях остальных игроков.

Рассмотрим функцию, определенную условием. Непосредственно проверяется, что она непрерывна и строго вогнута по v при любом фиксированном u. Поэтому при любом фиксированном u максимум достигается в единственной точке, то есть корректно определена функция f:U U такая, что. График этой функции замкнут, так как функция непрерывна. Следовательно, по теореме о замкнутом графике непрерывна функция f.

По теореме Брауэра функция f имеет неподвижную точку, то есть существует такая точка u0, что. Но очевидно, что, значит.

С другой стороны из равенства следует, что для любого u.

Поэтому, а значит в рассматриваемой игре существует ситуация равновесия по Нэшу. Для ключевого частного случая теорема доказана.

Рассмотрим теперь произвольную выпуклую игру Г=<N,U1,…,Un,g1,…,gn>. Зададим произвольным образом непрерывные строго вогнутые функции (годятся, например, функции). Фиксируем любую сходящуюся к нулю последовательность положительных чисел (1), (2),…, (n)… Рассмотрим последовательность игр Г1, Г2,…, где, а для i=1,…,n. В каждой из этих игр критерий i-го игрока gi(u)+ (t)hi(vn) представляет собой строго вогнутую функцию vi при фиксированных управлениях остальных игроков. Значит, как только что доказано, в каждой из этих игр существует ситуация равновесия. Пусть ut - любая ситуация равновесия в игре Гt. В силу компактности множества U из последовательности u1,u2,… можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Покажем, что ее предел является ситуацией равновесия в исходной игре Г.

Не ограничивая общности, можем считать, что сама последовательность u1,u2,… сходится к точке u0. По определению равновесия для любого i и любого vi из Ui выполняются неравенства gi(utvi) gi(ut). Пользуясь непрерывностью функции gi, можем перейти в этих неравенствах к пределу. Получим неравенства gi(u0 vi) gi(u0), справедливые для любого i и любого vi из Ui. Это и означает, что u0 - ситуация равновесия. Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-05