Примеры

Как и седловые точки, ситуации равновесия по Нэшу в конкретных играх могут отсутствовать.

Пример. Равновесие по Нэшу отсутствует в игре "орел-решка", которую можно задать с помощью таблицы (здесь первый игрок выбирает строку, второй - столбец, на пересечении выбранных строки и столбца стоят выигрыши игроков в естественном порядке).

Этот пример нетрудно модифицировать, сделав игру неантагонистической. Если мы "немного" изменим выигрыши игроков, то получим игру, которая также не имеет ситуаций равновесия: А теперь линейным преобразованием выигрышей приведем игру к более "приятному виду". В ней также нет ситуаций равновесия.

Пример: Семейный спор. Рассмотрим игру.

В этой игре существует две ситуации равновесия по Нэшу, выигрыши в которых равны соответственно (2,1) и (1,2). Очевидно, что одна из них предпочтительнее для первого игрока, а другая - для второго. Таким образом, в данной игре может иметь место борьба за выбор конкретной ситуации равновесия.

Тот же пример показывает, что хотя все стратегии первого игрока являются "равновесными", и все стратегии второго игрока тоже, их объединение в один исход может не быть ситуацией равновесия (например, не является равновесной ситуация, в которой первый игрок выбирает вторую строку, а второй - первый столбец). Это говорит о том, что выбор ситуации равновесия не может, вообще говоря, быть результатом изолированных действий игроков. Этим ситуации равновесия по Нэшу невыгодно отличаются от седловых точек.

Пример: Дилемма заключенного. Рассмотрим игру.

В этой игре существует единственная ситуация равновесия по Нэшу, выигрыши в которой равны (1,1). В то же время, существует неравновесная ситуация, которая предпочтительнее ситуации равновесия для обоих игроков.

Пример (Дж. Нэш). Пусть в евклидовом пространстве заданы точка w и компактное множество V. Рассмотрим следующую игру n лиц. Каждый из игроков выбирает число ui. Если получившийся вектор u=(u1,…,un) принадлежит множеству V, то игроки получают выигрыши ui соответственно. В противном случае игроки получают выигрыши wi.

Определим множество. Если пересечение пусто, то в данной игре существует единственная ситуация равновесия w. Если это пересечение не пусто, то равновесием по Нэшу является любая эффективная точка множества.

Таким образом, в данной игре каждое равновесие по Нэшу является эффективным. Впрочем, это скорее исключение, чем правило.

Пример. Пусть заданы убывающие непрерывные функции f и h, отображающие в. Рассмотрим следующую игру n лиц. Множество управлений любого игрока есть {0,1}, а функции выигрыша определяются условием Будем считать, что f(0)>h(n) и h(0)>f(n).

При сделанных предположениях уравнение f(x)=h(n+1-x) имеет единственное решение. Пусть k - наибольшее целое число, не превосходящее x. Равновесиями по Нэшу в указанной игре являются те и только те ситуации, для которых. Проверяется это непосредственно с помощью определения.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение равновесия Нэша?

2. Приведите примеры таких равновесий?

3. Сформулируйте теорему Нэша?

Список литературы

Основная:

1. Оуэн Г. Теория игр. Учебное пособие. Санкт-Петербург: ЛКИ, 2008 – 229 с.
2. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения: Учебное пособие. М.: Лань, 2010
3. Губко М.В., Новиков Д.А Теория игр в управлении организационными процессами [Электронный ресурс]: Учебное пособие. М.: Наука, 2005 – 138 с.
4. Даниловцева Е.Р., Теория игр: основные понятия: текст лекций [Электронный ресурс]. Санкт-Петербург: СПбГУАП, 2003 – 36 с.
5. Коковин С.Г., Лекции по теории игр [Электронный ресурс]. Новосибирск: Типография НГУ, 2010 г. – 91 с.

Дополнительная:

1. Самаров К.Л. Элементы теории игр [Электронный ресурс]. Учебное пособие. Новосибирск: Типография НГУ, 2010 г. – 91 с.
2. Волков Ю.И., Волков А.Ю. Теория игр [Электронный ресурс]. Тюмень, ТГИМЭУП, 2002.
3. Захаров С.Д. Курс теории игр [Электронный ресурс]. Тюмень, ТГИМЭУП, 2002.
4. Данилов В.И. Лекции по теории игр [Электронный ресурс]. КЛ/2002/001. М.: РЭШ, 2002.-192 с.

Дата добавления: 2014-01-05