ЛЕКЦИЯ 5. Удельная потенциальная энергия упругой деформации. Теории прочности. Расчёты на прочность

Из формул (4.10) и (4.11) видно, что относительная деформация имеет место как при объёмном, так при плоском и линейном напряжённых состояниях.

В процессе деформирования упругого тела его объём изменяется и в нём накапливается потенциальная энергия. В процессе разгружения тела потенциальная энергия появляется в виде работы, совершаемой внутренними силами.

Относительное изменение объёма определяется по формуле

Подставив в формулу (5.1) зависимость (4.10) получим

В случае пространственного равномерного растяжения () из формулы (5.2) следует

В соответствии с законом сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного параллелепипеда равна работе внешних сил, приложенных к его граням. Предположим, что силы действуют статически.

Полная потенциальная энергия деформации

Подставив в это выражение зависимости обобщённого закона Гука, получим

Удельная потенциальная энергия выражается в Дж/м³ или Нм/м³.

Объёмное напряжённое состояние можно разделить на два состояния, в одном из которых изменяется объём элементарного параллелепипеда, а в другом – форма. В связи с этим выделяют потенциальную энергию изменения объёма (5.6) и потенциальную энергию изменения формы (5.7).

Теории прочности. Статические испытания материалов при осевом растяжении и сжатии позволяют получить нормальные напряжения в момент наступления опасного состояния. Для пластичных материалов эти напряжения равны пределу текучести – σ_s, а для хрупких – пределу прочности на растяжение σ_ut. Это справедливо для линейного напряжённого состояния. Для сложных напряженных состояний использование этих предельных значений становится возможным с введением гипотез или теорий прочности. Рассмотрим несколько таких теорий.

Первая теория прочности – теория наибольших нормальных напряжений. Согласно этой теории опасное состояние наступает, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения для данного материала.

где R_t и R_c – расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие. Для случая объёмного и плоского напряжённого состояния эта теория не подтверждается.

Вторая теория прочности - теория наибольших относительных удлинений. Согласно этой теории опасное состояние наступает, когда наибольшие относительные удлинения достигают опасного значения для данного материала.

Эта теория учитывает все три главных напряжения и экспериментально подтверждается для хрупких материалов, но не подтверждается для пластичных материалов

Третья теория прочности теория наибольших касательных напряжений. Согласно этой теории опасное состояние наступает, когда наибольшее касательные напряжения достигают опасного значения для данного материала, разрушение материала происходит в результате среза.

Эта теория экспериментально подтверждается для пластичных материалов, но неприменима для хрупких.

Четвёртая теория прочности – энергетическая теория. Согласно ей опасное состояние наступает вместе с достижением опасного значения удельной потенциальной энергией изменения формы [u_ф].

Эта теория широко применяется для пластичных материалов, но неприемлема для хрупких.

Методика расчёта на прочность. Методика расчёта на прочность сводится к выполнению условий, обеспечивающих надёжное функционирование конструкции. В машиностроении принята методика расчёта по допускаемым напряжениям, а в строительстве – методика расчёта по предельным состояниям.

Методика расчёта по допускаемым напряжениям. Расчёт производится на действие нагрузок, возникающих в процессе эксплуатации. Условие прочности записывается для стержня при осевом растяжении в виде

Здесь σ_max –максимальное растягивающее напряжение, N_max – максимальное растягивающее продольное внутреннее усилие, А – площадь поперечного сечения, [σ] – допускаемое напряжение. Допускаемое напряжение определяют как, σ_оп – опасное напряжение (для хрупких материалов σ_оп = σ_в, для пластичных σ_оп = σ_s), n – коэффициент запаса (n > 1).

Коэффициент запаса связан с необходимостью учёта следующих факторов: неполное соответствие принятой расчётной схемы и действительного состояния конструкции, отклонение действительных нагрузок от принятых в расчёте, разброс механических характеристик материала конструкции и т. д.

Недостатком методики является использование одного числа – коэффициента запаса – для учёта многочисленных факторов.

Методика расчёта по предельным состояниям. В проектировании строительных конструкций эта методика применяется с 1955 года. В ней единый коэффициент заменен системой из нескольких коэффициентов.

Предельным называется такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять заданным требованиям эксплуатации. Строительные нормы и правила предусматривают две группы предельных состояний:

1) по потере несущей способности и полной непригодности к эксплуатации;

2) по непригодности к нормальной эксплуатации.

Целью расчётов по первой группе предельных состояний является ограждение конструкции от возможного разрушения при действии расчётных нагрузок, учитывающих возможное случайное отклонение. Вводится коэффициент надёжности по нагрузке γ_f, для нагрузок различного происхождения предусмотрены различные значения коэффициента.

Расчёты по второй группе предельных состояний включают в себя деформационные ограничения конструкции. Эти расчёты принципиально не отличаются от аналогичных расчётов по методике допускаемых напряжений.

Условие прочности стержня при растяжении можно записать как

Здесь R - -расчётное сопротивление выражается по формуле R = R^н /γ_m, где R^н - нормативное сопротивление (для пластичных материалов R^н = σ_s, для хрупких R^н = σ_в), γ_m – коэффициент надёжности, учитывающий случайные отклонения свойств материала и ряд других факторов.

Условия прочности используются для решения следующих задач: поверка прочности, подбор сечения, определение несущей способности стержня или конструкции.

Дата добавления: 2014-01-05