ЛЕКЦИЯ 12. Геометрические характеристики плоских сечений. Моменты инерции простых фигур

Основные понятия. Площадь поперечного сечения является геометрической характеристикой, определяющей напряжение стержня при растяжении-сжатии. При других видах деформации (изгиб, кручение) стержня напряжение зависит от других геометрических характеристик сечения, более сложных.

Рассмотрим поперечное сечение произвольной формы. Назначим декартову систему координат. Выделим элементарную площадку dA. Обозначим расстояние от элементарной площадки до оси z через y, до оси y через z, до начала координат через ρ. Тогда геометрические характеристики поперечного сечения можно представить в виде момента площади

(12.1)

Площадь (А) – момент нулевого порядка. (12.2)

Статический момент площади (S) – момент первого порядка, могут быть положительными, отрицательными, равными нулю. Единицы измерения [см³], [м³]. С помощью статического момента площади определяют координаты центра тяжести сечения

y_с=S_z/А, z_с=S_y/А. (12.3)

Статический момент площади обращается в ноль относительно собственных центральных осей фигуры.

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Их можно провести бесконечное множество.

Алгоритм определения координат центра тяжести заключается в следующем.

- разбить заданную фигуру на конечное число простых фигур, центры тяжести и площади которых легко находятся (прямоугольники, треугольники, окружности и т.п.);

- назначить вспомогательную систему координат z, y, рационально выбрать центральную систему координат одной из простых фигур;

- вычислить статические моменты инерции по формулам

Здесь - площади простых фигур, составляющих заданную, - координаты центров тяжести этих фигур в принятой вспомогательной системе координат;

- вычислить площадь заданной фигуры;

- воспользоваться формулами (12.3) для определения искомых координат центра тяжести фигуры.

Если фигура симметричная, то центр тяжести расположен на оси симметрии. У фигур, имеющих несколько осей симметрии, центр тяжести находится в точке пересечения этих осей.

Момент инерции (I) - момент второго порядка. Различают осевые (I_z, I_y), центробежный (I_zy) и полярный (I_ρ) моменты инерции:

. (12.5)

Осевые моменты инерции (экваториальные моменты) относительно осей координат всегда положительны и отличны от нуля. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю. Полярный момент инерции используется для сечений круглой формы, всегда положительный и отличный от нуля. Все моменты инерции измеряются в [см⁴], [м⁴].

Моменты инерции обладают следующими свойствами. Осевые и центробежный моменты инерции I_z, I_y, I_zy являются независимыми геометрическими характеристиками, т.е. ни одна из них не может быть выражена через две другие. В противоположность этому, полярный момент инерции сечения относительно любой точки равен сумме двух осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в этой точке.

(12.6)

Отсюда следует, что если при неизменной фигуре исходную систему координат повернуть на любой угол и образовать новую систему координат, то справедливо выражение

. (12.7)

Т.е. при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной.

Моменты инерции простых фигур. Рассмотрим порядок вычисления моментов инерции таких фигур с помощью определённых интегралов (12.5).

Прямоугольник. Выделим элементарную полоску

Рассуждая аналогично можно получить

Следует отметить, что в обоих случаях в куб возводится та сторона, которая пересекается осью.

Треугольник. Для вычисления I_z выделим элементарную полоску высотой dy,

но с переменной шириной b_y. Из подобия треугольников получим

Круг. Т.к. для круга вычислим предварительно полярный момент инерции.

Для этого выделим элементарную площадку в виде кольца.

При этом

ПРЯМОУГОЛЬНИКПОЛУКРУГРАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

КРУГПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Дата добавления: 2014-01-05