Понятия дифференцирования и интегрирования

Векторное произведение в отличие от скалярного некоммутативно, но обладает свойством дистрибутивности.

Векторное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов называется скаляр, равный произведению модулей перемножаемых векторов и косинуса угла между ними:

(2.16)

Рис. 2.8. Скалярное произведение векторов

Произведение cosα=a_b равно проекции вектора на направление вектора, а произведение cosα=b_a - проекции вектора на направление вектора.

Из рис.2.8. следует, что:

скалярное произведение модуля одного вектора можно рассматривать как произведение модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию другого вектора на направление первого.

Скалярное произведение обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности.

Коммутативность означает, что произведение не зависит от порядка сомножителей:.

Дистрибутивность заключается в том, что произведение сумм векторов равно сумме произведений слагаемых, взятых попарно, например:

.

(2.17)

Аналогичное равенство имеет место при любом числе слагаемых в каждом сомножителе.

Скалярные произведения ортов координатных осей декартовой системы координат равны:

, т.к., а.

(2.18)

Под квадратом модуля понимают скалярное произведение вектора самого на себя:

.

(2.19)

Векторное произведение векторов и обозначается так:

Векторным произведением векторов и называют вектор, определяемый соотношением (2.20):

(2.20)

где – вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и.

Направление вектора выбирается так, чтобы тройка векторов- - образовывала правовинтовую систему: если смотреть вдоль вектора, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Модуль векторного произведения определяется соотношением

(2.21)

Рис. 2.9. Векторное произведение векторов и

Свойства векторного произведения:

	1.. – векторное произведение векторов некоммутативно;	(2.22)
	2. - векторное произведение векторов дистрибутивно	(2.23)

Пусть имеется величина у, являющаяся функцией независимой переменной х: у=f(х), график ее зависимости представлен на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Геометрический смысл первой производной

Положение точки 1 характеризуется координатами –x,y, а положение 2 – (x+Dx) и (y+Dy).

Приращение независимой переменной рано -+Dx, а приращение функции - Dy.

Если Dx→0, то секущая (1-2) превращается в касательную к кривой в точке 1 (Рис.2.10).

Производная у по х есть предел отношения приращения функции (Dy) к соответствующему приращению независимой переменной (Dx) при условии, что приращение независимой переменной стре-мится к 0.

Тогда выражение:

(2.24)

называют производной функции у по независимой переменной х.

Первая производная имеет простой геометрический смысл:

она численно равна тангенсу угла (tgα), образованного касательной к траектории с положительным направлением оси Х.

Процесс вычисления производных называется дифференцированием.

Процесс обратный дифференцированию называется интегрированием.

.

Правила вычисления производных:

Дата добавления: 2014-01-05