Тема 5. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Тема 4. Распределение молекул идеального газа по скоростям.

В газе, находящемся в состоянии равновесия при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Максвелл установил, что это распределение для идеального газа описывается некоторой функцией, называемой функцией распределения молекул газа по скоростям.

Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул, имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от до, т. е.

, откуда.

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид этой функции:

,

где – масса одной молекулы газа.

График этой функции приведен на рис. 2.

Рис. 2

Относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от до, соответствует площади заштрихованной на рис. 2 полоски. Площадь под всей кривой распределения равна единице. Это означает, что функция удовлетворяет условию нормировки:

.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью:

.

Из этой формулы следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 3) смещается вправо. При этом величина максимума функции распределения молекул по скоростям с повышением температуры уменьшается (рис. 3).

Рис. 3

Кроме наиболее вероятной скорости, на рис. 2 приведены также средняя арифметическая скорость молекул и средняя квадратичная скорость молекул, которые определяются по формулам:

;.

Барометрическая формула определяет зависимость атмосферного давления воздуха от высоты. Молекулы воздуха находятся, с одной стороны, в потенциальном поле сил тяготения Земли, а, с другой –, в состоянии теплового хаотического движения, что приводит к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с высотой убывает.

Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 4), то на высоте h+dh оно равно p+dp, причем при dh >0 изменение давления dp <0.

Так как dh настолько мало, что при изменении высоты h в этих пределах плотность воздуха можно считать постоянной, то разность давлений:

, то есть.

Рис. 4

Выражение для плотности газа можно получить из уравнения состояния идеального газа, а именно,

где m – масса газа, – молярная масса газа.

Тогда или.

С изменением высоты от 0 до h давление изменяется от р ₀ до р (рис. 4). Поэтому, интегрируя в этих пределах предыдущее уравнение, получим:

, то есть,

откуда

.

Это выражение называется барометрической формулой, где р ₀ – давление на нулевом уровне отсчета высоты h, то есть на уровне, где принято h = 0.

Барометрическую формулу можно преобразовать в зависимость концентрации молекул воздуха n от высоты h, если воспользоваться уравнением состояния идеального газа p=nkT:

,

где n – концентрация молекул воздуха на высоте h,

n ₀ – концентрация молекул воздуха на высоте h= 0.

Так как (m ₀ – масса одной молекулы, – постоянная Авогадро), a, то или.

В этой формуле, где U – потенциальная энергия молекулы массой m ₀, находящейся в поле сил тяготения Земли на высоте h от уровня, на котором потенциальная энергия молекул воздуха принята равной нулю, а концентрация молекул обозначена как n ₀. Тогда n соответствует концентрации молекул в том месте, где потенциальная энергия молекулы воздуха равна U. Таким образом, получено распределение молекул по потенциальной энергии в силовом поле (распределение Больцмана).

Дата добавления: 2014-01-05