Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ОСНОВЫ РАЦИОНАЛЬНОГО ПИТАНИЯ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Коляшкин, М.А. Справочник медицинской сестры-диетолога [Текст] / М.А. Коляшкин, Н.Н. Полушкина. Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 317 с.

3. Физиология человека. [Текст] / Под редакцией В. М. Покровского, Г. Ф. Коротько. – М.: Медицина, 2007. – 656 с.

2. Губергриц, А. Я. Лечебное питание [Текст] / А. Я. Губергриц, Ю.В. Линевский. – М.: «Высшая школа», 1977. – 576 с.

4. Мельникова, М.М., Основы рационального питания: Учебно-методическое пособие [Текст] / М.М. Мельникова, Л.В. Косованова. – Новосибирск: Новосиб. гос. пед. унив., 2000. – 103 с.

5. Современные принципы и методы вскармливания детей первого года жизни: Методические указания №225 [Текст] // Мед. научн. уч.-метод. журнал. –2002, №11. – С. 38-52.

6. Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы 2.4.5.2409-08 от 23.07.2008 N 45. Санитарно-эпидемиологические требования к организации питания обучающихся в общеобразовательных учреждениях, учреждениях начального и среднего профессионального образования.

7. Мицык, В.Е., Рациональное питание и пищевые продукты [Текст] / В.Е. Мицык, А.Ф. Невольниченко. Киев: Урожай, 1994. – 334 с.

8. Столяр, В.И. Рациональное питание [Текст] / В.И. Столяр. Киев: Наукова думка, 1991. – 368 с.

9. Уголев, А.М. Теория адекватного питания [Текст] / А.М. Уголев // Клин. медицина, 1986. – Том 64, №4. – С. 15-24.

10. Арансон, Н.В. Питание для спортсменов [Текст] / Н.В. Арансон – М.: ФИС, 2000. – 245 с

11. Вайнбаум, Я.С. Гигиена физического воспитания и спорта: учеб. пособие для студентов высших пед. учебных заведений [Текст] / Я.С. Вайнбаум. М.: Изд. Центр «Академия», 2002. – 240 с.

12. Методические основы рационального питания в физической культуре и спорте: учеб. Пособие [Текст] / под ред. В.В. Белоусова. – Спб: Олимп-СПб, 2003. – 168 с.

13. Пшендин, А.И. Рациональное питание спортсменов. Для любителей и профессионалов [Текст] / А.И. Пшендин – Спб: Издательство «Олимп-Спб», 2003. – 160 с.

Учебное издание

Попова Надежда Николаевна

Прямое и обратное преобразования Фурье. Совокупность операций, позволяющих по заданной функции находить ей соответствую­щую спектральную характеристику , называется преобразова­нием Фурье и описывается следующим выражением:

(1.3.1)

Интеграл в правой части равенства (1.3.1) понимается в смысле главного значения, т.е.

(1.3.2)

Равенство (1.3.1) устанавливает связь между функцией , аргументом которой служит время t, и ей соответствующей комплексной функ­цией , имеющей в качестве аргумента частоту ω.

Формула интеграла Фурье

(1.3.3)

позволяет по известной функции определить ей соответствую­щую функцию , и называется формулой обратного преобразования Фурье.

Интеграл в правой части равенства (1.3.3) также следует рассмат­ривать в смысле главного значения, т.е.

(1.3.4)

В ряде задач автоматического регулирования функция харак­теризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого вре­мени t, который можно принять за нулевой. В этом случае при и формула (1.3.1) принимает вид

(1.3.5)

Преобразование, определяемое формулой (1.3.5), называется прямым односторонним преобразованием Фурье.

Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одно­сто­рон­нему преобразованию, остается двусторонним по переменной ω и даётся равенством

(1.3.6)

где определяется формулой (1.3.5).

Одностороннему преобразованию Фурье могут быть подвергнуты те функции , которые в любом интервале, заключенном в пределах , удовлетворяют условиям Дирихле, и интеграл существует.

Прямое и обратное преобразование Лапласа. Рассмотрим функцию вещественной переменной t, при этом будем предпо­лагать выполненными следующие условия:

1) Функция непрерывна для всех значений . Непре­рывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, являю­щихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек должно быть конечным на любом интервале ограничен­ной длины.

2) Функция для значений .

3) Функция имеет ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие постоянные числа и , при кото­рых выполняется неравенство

Число является показателем роста функции . Функция , удовлетворяющая условиям 1–3, называется оригиналом. Многие функции, встречающиеся при описании процессов в автоматических системах, являются оригиналами. Например, оригиналами будут функции ; ; ; (); ; () и ряд других функций. Наличие в этих функциях множителя — единичной ступенчатой функции — обе­спечивает выполнение второго условия, т.е. обращение функции в ноль при . С физической точки зрения это условие является вполне естественным. Действительно, в автоматических сис­темах обычно представляют интерес процессы, начинающиеся с не­которого момента времени. Например, если функция характери­зует отклонение регулируемой величины, происходящее при прило­жении к системе в момент возмущающего воздействия, то очевидно, что при , так как реакция на возмущение не может возникнуть ранее момента времени приложения, к системе самого возмущения. Этот момент времени может быть принят за нулевой момент, т.е. можно полагать, что ; тогда при получим . Условие 2 поэтому, естественно, учитывает началь­ные условия, в которых находится автоматическая система. Как правило, условия 1 и 3 также выполняются для большинства функ­ций , характеризующих процессы в автоматических системах. Если хотя бы одно из условий 1–3 не выполняется, то функция не будет являться оригиналом. Согласно условию 1 ори­гинал не может обращаться в бесконечность при , поэтому не является оригиналами функция , . Не является оригиналом также функция , поскольку для этой функции не выполнено условие 3: функция при возрастает быстрее, чем возрастает функция .

Функция комплексного переменного , определяе­мая равенством

(1.3.7)

называется изображением функции по Лапласу. Интеграл в правой части равенства (1.3.7) называется интегралом Лапласа. Этот несобственный интеграл по определению равен

(1.3.8)

причем означает правый предельный переход.

С помощью интеграла Лапласа устанавливается соответствие между функцией и её изображением . Символически преобразование Лапласа записывается в виде

(1.3.9)

Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует предел в правой части равенства (1.3.8).

Для перехода от изображения к ему соответствующему оригиналу необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. Оригинал в точках непрерывности опреде­ляется равенством

(1.3.10)

где — изображение по Лапласу оригинала , а интеграл в пра­вой части этого равенства понимается в смысле главного значения, т.е.

(1.3.11)

Формула (1.3.10) называется формулой обращения. С её помощью устанавливается связь между изображением и ему соответст­вующим оригиналом . Процесс получения оригинала по задан­ному изображению представляет собой обратное преобразование Лапласа. Символи­чески обратное преобразование Лапласа записывают в виде

(1.3.12)

Условие учитывает то обстоятельство, что оригинал при .

Наиболее часто встречающиеся оригиналы и соответствующие им приложения приведены в Приложении 1.

Дата добавления: 2014-01-05