Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Связь преобразований Фурье и Лапласа




Формула (1.3.7) прямого преобразования Лапласа может рассматриваться как результат определенным образом построенного обобщения одностороннего пре­образования Фурье. Пусть, например, функция удовлетворяет условиям Дирихле в интервале , причем при .

Преобразование Фурье может быть применено к функциям , для которых интеграл существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому условию не удовлетворяют многие функции, используемые при анализе про­цессов в автоматических системах, например функции ; ; ; (при действительном ); t и др. Для того чтобы иметь возможность подобную функцию преобразовать по Фурье, предварительно её надо умножить на множитель , где вещест­венное число выбрано таким образом, чтобы интеграл

был сходящимся. Значение для каждой функции является вполне определенным. Используя формулу прямого одностороннего преобразования Фурье

будем преобразовывать по Фурье не функцию , а функцию , удовлетворяющую условиям применения этого преобразо­вания:

(1.3.13)


Введя новую комплексную переменную , получим:

Это выражение представляет собой формулу (1.3.7) прямого преобра­зования Лапласа.

Таким образом, преобразование Лапласа является результатом распространения преобразования Фурье на функции, которые, удов­летворяя условиям Дирихле в интервале , не удовлетво­ряют в этом интервале условию абсолютной интегрируемости.

Рассмотрим теперь формулу обратного преобразования Фурье

Заменив в левой и правой частях этого равенства на , получим

Учитывая, что , , найдем

Это равенство, как видно из (1.3.10), является формулой обратного преоб­разования Лапласа.

Таким образом, обратное преобразование Лапласа может рас­сматри­ваться как развитие обратного преобразования Фурье.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1346; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.