Упражнения. Тождественные преобразования выражений

Тождественные преобразования выражений

Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Напри­мер, выражение 18·4 + 4·4 заменяли выражением 72+16, а выраже­ние 3 х (х -2) + 4(х -2) - выражением (х - 2)(3 х + 4), причем эти заме­ны привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выра­жений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выра­жения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных зна­чениях д: их значения равны.

Если два тождественно равных на некотором множестве выраже­ния соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Например, 5(х + 2) = 5 х + 10-тождество на множестве действи­тельных чисел, потому что для всех действительных чисел значе­ния выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначе­ние квантора общности, это тождество можно записать так: (V х € R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые ра­венства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некото­ром множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему вы­ражение 5 х + 10, мы выполнили тождественное преобразование пер­вого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо перемен­ных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, кото­рыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразо­вания выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгеб­раических операций.

Приведем пример тождественных преобразований выражения.

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:

а) 42:5; б) 27; в) 32+-): 14; г) 2·7 = 7·2;

д) (17+13):10-15; е)142>71·2.

2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматри­вать их на множестве натуральных чисел:

а) (135 + 67)·12; б)(135-217):2; в) 362:4?

3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:

а)8 + 0,3 b; б)21-(4+ y); в) x +2 y <7; г) 32: у + 3 = 5 у?

4. Установите, какова область определения выражений, если рас­сматривать их на множестве действительных чисел:

а) (3- y):64; б) 64:(3- у); в) (5+ x):(x -12).

5. Известно, что выражение называется по своему последнему дейст­вию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:

Выражение	Название выражения
(12·5 + 3:(2 + 7))·18
(23-	(23 -7·6-4+ 15):(17-6)
21 +	21 + (35·3:8-14:5)
19-	19-8:4 + 5

6. Вычислите значение выражения:

а) ((36:2-14)·(42·2-14)+ 20):2;

б)(72:12-(18-15)):(24:3-2·4);

в) (16,583:7,21 + 54,68·853,2 + 28,82·0,1): 1,6-1,02.

7. Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 – 3 x тождественно равными на множестве:

а) {1,2, 3,4}; б) действительных чисел.

8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множе­стве действительных чисел:

а)3 p + 5т = 5т + 3р; в) Зр·5т = 5т·3р;

б) 3 p - 5т = 5т - 3р; г) 3 p: 5т = 5т: 3р?

9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:

а) 324·5 =(300 + 20 + 4)·5 = 300·5 + 20·5 + 4·5 = 500+100 + 20=1500+120=1620;

6)97·12 =(100-3)·12= 100·12-3·12=1200-36 = 1100 + (100-36) = 1164;

в) 5(1-2 х)+10 x = 5-10 x + 10 x = 5.

10. Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение» на множестве числовых выражений является отношением эквивалент­ности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?

11. Упростите выражение путем тождественных преобразований:

а)6(2 аb -3)+2 a (6 b -5); б)(12 a -16 b):4-(10 a -4 b).

12. Сравните значения выражений, не выполняя действий:

а)(30+56)·5 и 30·5 + 56·5;

б)(19+4)·7 и 19·7+10·7;

в)(14-7)·6 и 16·6-7·6;

г)(18-9)·7 и 18·7-11·7.

13. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:

а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разби­лись на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?

б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будет шить в день на 50 фартуков больше?

в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

Дата добавления: 2014-01-06