Упражнения. Свойства равенств и неравенств

Свойства равенств и неравенств

Числовые равенства и неравенства

Лекция 25. Равенства и неравенства

План:

1. Понятие равенства и неравенства

2. Свойства равенств и неравенств. Примеры решения равенств и неравенств

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g, которое называют числовым равенством.

Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = = 7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражении, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.

Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.

1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соеди­нить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравен­ство 6 + 2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения число­вое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим неко­торые.

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

1. Установите, какие из следующих числовых равенств и нера­венств истинны:

а) (5,05: 1/40 - 2,8 ·5/6) ·3 +16·0,1875 = 602;

б) (1/14 – 2/7): (-3) – 6 1/13: (-6 1/13)> (7- 8 4/5) ·2 7/9 – 15: (1/8 – 3/4);

в) 1,0905:0,025 - 6,84·3,07 + 2,38:100 < 4,8:(0,04·0,006).

2. Проверьте, истинны ли числовые равенства: 13 • 93 = 31• 39, 14 • 82 = 41 • 28, 23• 64 = 32• 46. Можно ли утверждать, что произведение лю­бых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?

3. Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:

a )2х > 2у; в ) 2х-7< 2у-7;

б)- x /3<- y /3; г )-2х-7<-2у-7?

4. Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:

а) -3,7 a * -3,7 b; г) – a /3 * - b /3^;

б) 0,12 а * 0,12 b; д) -2(а + 5) * -2(b + 5);

в) a /7 * b /7; е) 2/7 (a -1) * 2/7 (b -1).

5. Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6; 3/4. Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство 5а > 3 а истинно?

6. Выполните задания, которые предназначаются ученикам на­чальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в началь­ном курсе математики понятия числового равенства и числового не­ равенства:

а) Запиши два верных равенства и два верных неравенства, исполь­зуя выражения: 9·3, 30-6, 3·9, 30-3.

б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными: 4 + 2·3 = 18; 31-10-3 = 24; 54-12 + 8 = 34.

в) Поставь вместо * знаки действий так, чтобы получились верные
равенства: 3*6*2 = 9; 9*3*6 = 18.

7. Какиеответы учеников вы будете считать правильными при вы­полнении ими задания - сравнить выражения, не вычисляя их значения:

а) 70·32+ 9·32...79·30+ 79·2;

б)7·4 + 3·4...(7 + 8)·4;

в) 8500:1700...8500:100:17;

г) 24·6080... (6000 + 80)·24?

Дата добавления: 2014-01-06