Из истории возникновения понятия натурального числа

Лекция 31. Аксиоматический метод построения теории в математике

План:

1. Из истории развития понятия числа.

2. Аксиоматический метод построения теории в математике.

Для школьной математики натуральное число является тем поняти­ем, с которого, как правило, начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными функциями натурального тела. Отвечая на вопрос: «Сколько машин изображено на рисунке?», они имеют дело с числом как количественной характеристикой множе­ства предметов. Производя счет предметов, используют натуральное число как характеристику порядка. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает как значение величины при выбранной еди­нице, т.е. как мера величины. Большое внимание уделяется в начальном курсе математики и еще одной роли числа - как компоненту вычисле­ний. Таким образом, натуральное число имеет много функций, и многие из них должны быть поняты и усвоены уже младшими школьниками. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями, в которых обосновываются различные подходы к определению нату­рального числа и действий над числами.

В нашем курсе мы рассмотрим аксиоматическое определение сис­темы натуральных чисел, отвечающее на вопрос, что представляет собой число как элемент натурального ряда; затем построим ее теоретико-множественную модель и выясним, что представляет собой нату­ральное число как мера величины, и, наконец, изучим способы записи чисел и алгоритмы действий над ними.

Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития.

Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конеч­ные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами или между одним из множеств и под­множеством другого множества, т.е. на этом этапе человек восприни­мал численность предметов без их пересчета. Например, о численности группы из двух предметов он мог говорить: «Столько же рук у человека», о множестве из пяти предметов - «столько же, сколь­ко пальцев на руке». При таком способе сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы.

В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел - для сравнения мно­жеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, ра­ковины, пальцы. Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла, например, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще. Названия мно­жеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов - словами «весь человек».

Только после того как человек научился оперировать множества­ми-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло от­влечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, напри­мер, яблок, не перечислялись уже «одно яблоко», «два яблока» и т.д., а проговаривались слова «один», «два» и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятия числа. Историки считают, что произошло это в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно в 10-5 тысячелетии до н.э.

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Вообще нату­ральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования дли­тельная. Запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постепенно. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел. Так, в работе «Псаммит» - исчисле­ние песчинок - древнегреческий математик Архимед (III в. до н.э.) показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно, и описал способ образования и словесного обозначения сколь угодно боль­ших чисел.

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим мо­ментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от тех. конкретных задач, в связи с которыми они возникли. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и дейст­вия над ними, получила название «арифметика». Слово «арифметика» происходит от греческого аrithmos, что значит «число». Следователь­но, арифметика - это наука о числе.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне. Китае. Индии и Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В сред­ние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с XIII века – европейские ученые.

Термин «натуральное число» впервые употребил в V в. римский ученый А.Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги «О введении в арифметику», которая до XVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фун­даментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необ­ходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика XIX века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние па исследование природы натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств. Конечно, в созданных теориях понятия натурального числа и действий над ними получили большую абстрактность, но этим всегда сопровождается процесс обобщения и систематизации отдельных фактов.

§ 14. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Как уже было сказано, натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет

осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Дата добавления: 2014-01-06