Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

Упражнения

1. Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения 2 × 4.

2. Раскройте теоретико-множественный смысл произведения 2 × 4, используя определение произведения чисел через декартово произве­дение множеств.

3. Докажите, что дистрибутивность умножения относительно
сложения вытекает из равенства А х (В Ç С) = (А х В) Ç (А х С), а относительно вычитания - из равенства (А \В) х С) = (А х В)\(А х С).

4. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.

а) На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько все­го яблок положили?

б) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

5. Используя теоретико-множественный смысл действий над числами, обоснуйте выбор действий при решении задач.

А) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники – 4 ряда, а третьеклассники - 5 рядов. Сколько учеников начальных классов было в кинотеатре, если в каждом ряду они занимали по 9 мест?

Б) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?

6. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными при выполнении ими следующих заданий.

А) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя 9 рядов по 8 тюльпанов. Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

Пользуясь данным условием, объясните, что означают выражения: 72+72; 72×2; 8×9 – 8.

Б) В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

Объясните, что означают выражения, составленные по условию каждой задачи:

9 × 6; 8 × 2; 8 × 6; 9 - 8; (9 - 8) × 2; (9 - 8) × 6.

В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная

а-Ь = с

умножению, поэтому между делением

а- с:г)

и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с: b и с: а.

Произведение а × b = с с теоретико-множественной точки зрения представляет собой число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится а элементов, т.е.

а× b = n(А₁È А₂È... ÈАb), где n(А₁) = n(А₂)=…= n(Аb). Так как множества попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество - назовем его А, - в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А₁, А₂,..., Аb. Тогда частное с: а - это число подмножеств в разбиении множества А, а частное с :b - число элементов в каждом подмножестве этого разбиения.

Мы установили, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в ка­ждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Таким образом, если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b - число элементов в каждом подмножестве, то частное а:b - это число таких подмножеств;

b - число подмножеств, то частное а:b- это число элементов в каж­дом подмножестве.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида: «12 карандашей разложи­ли в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требует­ся узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число, как установлено выше, можно найти при помощи деления – 12:3. Вы­числив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи -в каждой коробке по 4 карандаша.

Если дана задача: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобит­ся'?», - то для решения выбор действия деления можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на под­множества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать чис­ло таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления - 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос зада­чи - понадобится 4 коробки.

Используя теоретико-множественный подход к действиям над целы­ми неотрицательными числами, можно дать теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число: если частные а:с и b:с существуют, то (а + b):с = а:с + b:с. Пусть а = п{А) и b = п(В), причем А Ç В = Æ. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а: с подмножеств, а множество В - из b: с подмножеств, то А È В состоит из а:с + b:с подмножеств. Это и значит, что (а + b):с =а:с + b:с.

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассмат­ривается как число равночисленных подмножеств в разбиении мно­жеств А и В.

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть и смысл отношений «больше в» и «меньше в», с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач.

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если а:b = с, то можно говорить, что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

Если же а = п(А), b = п(В) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b, то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А, но так как а меньше b в с раз, то множество В можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству А.

Так как с - это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве - а элементов, то с = b:а.

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в с раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растут на участке?»

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что п(А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. п(В).

Рис. 116

Так как в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (рис. 116). Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего в множестве В будет 3 + 3 или 3×2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число а на нату­ральное число b с остатком - ото значит найти такие натуральные целые неотрицательные числа q и r, что а = b q + r, где 0 £ r < b.

Пусть а = n(А) и множество А разбито на множества А₁, А₂,..., Аq, R, так, что множества А₁, А₂,..., Аq равночисленны, а множество R содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А₁, А₂,..., Аq. Тогда, если n(А₁)= n(А₂)=…= n(Аq) = b, а n(R) = r, где 0 £ r < b, причем число q равночисленных множеств является неполным част­ным при делении а на b, а число элементов в R - остатком при этом делении.

Дата добавления: 2014-01-06