Упражнения. 1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по из­вестным трем сторонам

1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по из­вестным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?

2. Даны отрезок р, два угла α и β. Всегда ли можно построить тре­угольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы рав­ны α и β.

3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у ко­торого известны его стороны а и в.

4. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:

а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;

б) квадрат со стороной р;

в) квадрат, диагональ которого задана.

5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?

6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.

7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.

8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по:

а) известным диагоналям;

б) известной стороне и одному из углов при его вершине;

в) углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла;

г) стороне и диагонали.

9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

10. По каким данным можно построить равнобедренный треуголь­ник? Во всех возможных случаях выполните построения.

3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.

Пусть на плоскости (в пространстве) задана фигура F. Поставим в соответствие каждой точке данной фигуры F единственную точку плоскости (пространства). Получим новую фигуру F'. В этом случае говорят, что фигура F' получена преобразованием фигуры F. При этом фигура F' является образом фигуры F для данного преобразования, а фигуры F – прообразом фигуры F'. Существует несколько видов преобразований: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия), симметрия относительно плоскости, гомотетия и др.

Симметрия относительно точки. Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка. Точка Х ' называется симметричной точке Х относительно точки О, если точки Х, О, Х' лежат на одной прямой и ОХ = О Х '. Точка, симметричная точке Х ', есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', симметричную Х относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то фигура называется центрально-симметричной относительно точки О, а точка О – ее центром симметрии. Примеры – параллелограмм, окружность, куб, сфера, параллелепипед.

Пусть m – фиксированная прямая и Х – произвольная точка. Точка Х ' называется симметричной точке Х относительно прямой m, если прямая ХХ' перпендикулярна прямой m и ОХ = О Х ', где точка О – точка пересечения прямых ХХ' и m. Точка, симметричная точке Х, лежащей на прямой m, есть сама точка Х. Точка, симметричная точке Х ', есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', симметричную Х относительно данной прямой m, называется преобразованием симметрии относительно прямой m. Прямая m называется осью симметрии.

Гомотетия. Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k∙ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка Х переходит в такую точку Х', что ОХ = k∙ОХ', называется гомотетией относительно центра О, число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F' называются гомотетичными.

Движение – преобразование фигуры F в фигуру F', при котором сохраняется расстояние между точками, т.е. движение переводит любые две точки Х и Y фигуры F в точки Х ' и Y' фигуры F' так, что ХY = Х 'Y'.

Преобразование симметрии относительно точки является движением (центральная симметрия).

Преобразование симметрии относительно прямой является движением (осевая симметрия).

Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.

Основные выводы

Рассмотрев материал данного параграфа, выяснили, что построе­ние геометрических фигур с заданными свойствами при помощи цир­куля и линейки осуществляется по определенным правилам. Прежде всего, надо знать, какие построения можно выполнять с помощью линейки, не имеющей делений, и с помощью циркуля. Эти построения называют основными. Кроме того, надо уметь решать элементарные задачи на построение, т.е. уметь строить: отрезок, равный данному; угол, равный данному; середину отрезка; биссектрису угла; прямую, перпендикулярную данной прямой, и проходящую через данную точку.

Процесс решения более сложных задач на построение разбивается на 4 этапа и основывается на умении решать элементарные задачи.

Дата добавления: 2014-01-06