Умови істинності або хибності складних суджень

Досі ми розглядали судження (та й інші логічні категорії) лише з точки зору формальної логіки предикатів. Подивимося тепер на складні судження з погляду логіки висловлювань, у якій розглядається істинність та хибність суджень.

Почнемо зі з’єднувальних (кон’юнктивних) суджень. З’єднувальне судження істинне при істинності усіх кон’юнктів, що складають його, й хибне при хибності хоча б одного з них. Умови істинності суджень можна представляти у вигляді так званих таблиць істинності. Для з’єднувального судження таблиця істинності буде мати такий вигляд:

р	q	рÙq
і	і	і
і	х	х
х	і	х
х	х	х

(Замість «і» та «х» іноді пишуть «1» та «0»).

Саме така умова істинності кон’юнкцій витікає з того, що «р і q» можна замінити, наприклад, на «як р, так і q», тому для того, щоб усе судження було істинним, обидві його частини повинні бути істинним.

Для розуміння логіки висловлювань треба запам’ятати таке правило: усі висловлювання у ній або істинні, або хибні, третього не дано.

Наприклад, візьмемо таке висловлювання: «Через 5 років тут буде дощ з громом». Воно здається нам невизначеним з точки зору істинності, але у логіці висловлювань невизначеності не буває.

Така ж сама справа й зі складними висловлювання. У звичайній мові ми пов’язуємо сполучником «і» два висловлювання, котрі, як нам здається, пов’язані якимось значенням. Але значення – поняття суб’єктивне, для когось воно є, а для когось – ні. Тому логіка висловлювань таке поняття, як «змістовні зв’язки», відкидає. Наприклад, висловлювання «Він ішов у пальті, і я йшов до університету» нам здається безглуздим, тому воно не може бути істинним або хибним. Але з точки зору логіки висловлювань, якщо обидві його частини істинні, то воно істинне. Так же само істинне й складне судження «2 – просте число й Москва – велике місто». Але якщо ми скажемо «2 – непарне число й Москва – велике місто», то усе судження перетворюється на хибне.

Перейдемо тепер до умов істинності розділових (диз’юнктивних) суджень. Вони будуть різними для нестрогої та строгої диз’юнкції.

Нестрога диз’юнкція істинна, коли істинний хоча б один член диз’юнкції, і хибна при хибності обох її членів.

р	q	рÚq
і	і	і
і	х	і
х	і	і
х	х	х

Для строгої диз’юнкції умови істинності будуть іншими. Істинною строга диз’юнкція буде лише при істинності одного та хибності іншого члена. Як уже говорилося вище, у звичайній мові, щоб підкреслити, що диз’юнкція строга, застосовують сполучник «або» 2 рази: «або р, або q». Тоді зрозуміло, що коли істинні і р, і q, або якщо обидва хибні, то хибна й уся строга диз’юнкція. У вигляді таблиці істинності це зображується так:

р	q	р Ú q
і	і	х
і	х	і
х	і	і
х	х	х

Умовні (імплікативні) судження істинні в усіх випадках, окрім одного: при істинності антецендента та хибності консеквента (2-й рядок):

р	q	р®q
і	і	і
і	х	х
х	і	і
х	х	і

Наприклад: «Якщо запобіжник плавиться, то телевізор не гасне». Антецендент істинний, але висновок з нього робиться хибний, тому вся імплікація хибна.

У решті ж випадків імплікація буде істинною. У першому випадку це найбільш очевидне. З істинного антецендента («Запобіжник плавиться») робиться істинний же висновок («Телевізор гасне»).

Але імпликація істинна і ще у двох випадках, хоча, на перший погляд, це може здатися дивним. Візьмемо перший випадок: антецендент хибний, консеквент істинний. У цьому випадку імплікація буде істинною, навіть якщо ми візьмемо такий приклад: «Якщо 2х2=5, то деякі слони живуть в Африці». Ця імплікація є істинною тому, що деякі слони дійсно живуть в Африці, поза залежністю від будь-яких умов, істинних або хибних. Але якщо ми поміняємо антецендент і консеквент місцями: «Якщо деякі слони живуть в Африці, то 2х2=5», ми отримуємо 2-й рядок таблиці істинності: імплікація хибна, тому що 2х2 ніколи не буде 5, поза залежністю від будь-яких умов, навіть істинних.

І, нарешті, останній рядок. Якщо і р, і q хибні, то імплікація буде істинною навіть у такому випадку: «Якщо 2х2=5, то я – папа римський», оскільки істинність імплікації залежить не від змісту висловлювань, які входять до неї, а лише від їх взаємовідношень між собою. Тут імплікація буде істинною, оскільки хибність одного не ставить під сумнів хибність іншого.

Еквівалентні судження (подвійна імплікація) істинні у тих випадках, коли обидва судження приймають однакові значення, будучи одночасно або істинними, або хибними (1-й та 4-й рядки).

р	q	рºq
і	і	і
і	х	х
х	і	х
х	х	і

Це значить, що істинність р достатня для визнання істинним q, а істинність q достатня для визнання істинності р. Те ж саме буде й при їх хибності. Тому приклад з 2х2=5 і папою римським буде істинним висловлюванням і для подвійної імплікації. А ось у решті випадків подвійна імплікація буде хибною. Чому – я думаю, розберетеся самі.

Окрім відношень кон’юнкції, диз’юнкції, імплікації та еквіваленції у логіці висловлювань застосовується також відношення заперечення. Повний зміст відношення заперечення задається умовою: якщо висловлювання р істинне, то його заперечення (не-р) хибне, і якщо р – хибне, то не-р – істинне. Відношення заперечення позначається Øр. Для заперечення теж можна побудувати таблицю істинності:

р	Øр
і	х
х	і

Знаючи (і розуміючи) таблиці істинності для елементарних складних висловлювань, можна будувати їх і для більш складних, що складаються з них, і таким чином, визначати умови істинності для будь-якого виразу. Наприклад, треба побудувати таблицю істинності для такого виразу: (ØАÚВ)Ù(ВÚС). Будувати ми її будемо у такому порядку: спочатку задамо усі можливі комбінації істинності й хибності А, В і С. Потім розберемо, як розв’язується таблиця істинності на прикладі першого рядка.

А	В	С	ØА	ØАÚВ	ВÚС	(ØАÚВ)Ù(ВÚС)

Спершу починаємо з чого? З не-А. Якщо А істинне, то не-А – хибне. Далі переходимо до диз’юнкції у перших дужках, «не-А або В». Якщо хоча б одне з них істинне, то весь вираз істинний. У нашому першому рядку істинні обидва. Пишемо «1». Аналогічно «В або С», теж нестрога диз’юнкція й обидва істинні, значить, і вона істинна теж. І, нарешті, весь вираз, кон’юнкція. Ліва частина істинна, права частина істинна, значить, уся кон’юнкція істинна.

Якщо при будь-яких варіантах істинності та хибності змінних у всіх рядках таблиці виходить «істина», то такий вираз називається тотожньо-істинним, якщо у всіх рядках виходить «хиба» – тотожньо-хибним, якщо зустрічаються обидва значення – нейтральним.

Дата добавления: 2014-01-06