Метод неопределенных множителей Лагранжа

Для решения оптимизационных задач по методу Лагранжа параметры режима сети должны быть разделены на независимые переменные Y и зависимые переменные X, где Y и X – векторы переменных.

Пусть общее количество параметров режима равно m, а число независимых параметров n.

Тогда число компонент вектора Х будет равно m-n.

При решении этим методом целевая функция оптимизации выражается как функция независимых переменных: Z = F(Y).

Кроме этого должны быть составлены ограничения в виде равенств, связывающих между собой независимые и зависимые переменные. Количество ограничений должно быть равно числу зависимых переменных.

Например, если общее количество параметров равно 5, из которых лишь 2 являются независимыми, то число ограничений должно быть равно трем:

w₁(X,Y) = 0;

w₂(X,Y) = 0;

w₃(X,Y) = 0.

На следующем этапе находится функция Лагранжа, которая включает в себя и

целевую функцию и уравнения связи:

L = F(Y) + l₁ × w₁(X,Y) + l₂ × w₂(X,Y) + l₃ × w₃(X,Y),

где l₁, l₂ , l₃ - неопределенные множители Лагранжа.

Далее необходимо найти частные производные, число которых должно быть равно общему числу параметров:

¶L / ¶y₁; ¶L / ¶y₂; ¶L / ¶l₁; ¶L / ¶l₂; ¶L / ¶l₃.

Приравнивая каждую из полученных частных производных нулю, получают систему уравнений, метод решения которых зависит от конкретного содержания задачи.

Пример 7. Найти экстремум функции Z = x₁×x₂ + x₂×x₃ при ограничениях

x₁ + x₂ = 2,

x₂ + x₃ = 2.

Р е ш е н и е.

Составляем функцию Лагранжа:

L = x₁×x₂ + x₂×x₃ + l₁(x₁ + x₂ - 2) + l₂(x₂ + x₃ - 2).

Дифференцируем её по переменным x₁, x₂, x₃, l₁, l₂ и полученные выра­жения приравниваем нулю:

l₁ + x₂ = 0,

x₁ + x₃ + l₁ + l₂ = 0,

x₂ + l₂ = 0,

x₁ + x₂ - 2 = 0,

x₂ + x₃ - 2.

Из первого и третьего уравнений следует, что l₁ = l₂ = -x₂.

Поэтому

x₁ – 2x₂ + x₃ = 0,

x₁ + x₂ = 2,

x₂ + x₃ = 3,

откуда x₁ = x₂ = x₃ =1. Экстремум целевой функции Z_extr.= 2.

Поскольку, например, точка (0; 2; 0) принадлежит допустимой области и в

ней Z = 0, то делаем вывод, что точка (1; 1; 1) – точка глобального максимума.

Дата добавления: 2014-01-06