Плотность вероятности и функция распределения

Полное описание случайного процесса (сигнала) X(t) может быть достигнуто заданием совокупности многомерных плотностей вероятностей или функций распределения.

Плотность распределения случайного сигнала есть вероятность того, что значения сигнала в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале (рис. 16).

Рис. 16. Реализация стационарного эргодического случайного процесса

Если имеется реализация стационарного эргодического случайного сигнала (рис. 16), то вероятность того, что значение x(t) попадет в интервал от x до (x+Dx), можно определить, вычисляя отношение , где

.

Т_S есть суммарная продолжительность нахождения значений сигнала в интервале (x, x+Dx) за время измерения сигнала Т. При Т®µ отношение все точнее описывает вероятность такого события:

.

Вероятность того, что мгновенное значение х(t) не превышает некоторой величины x (рис. 17) характеризуется функцией распределения F(x), которую еще называют интегральной функцией распределения:

.

Рис. 17. Интегральная функция распределения

Одномерная плотность вероятности, как и функция распределения, является неполной характеристикой процесса. Она дает представление о процессе лишь в отдельные, фиксированные моменты, не указывая, например, как предыдущее значение случайного процесса влияет на последующее. Таким образом, эти функции характеризуют процесс «статически» и не дают представление о динамике его развития.

Плотность распределения вероятности P(x) связана с функцией распределения вероятности F(x) следующей зависимостью:

.

Поэтому P(x) часто называют дифференциальной функцией распределения вероятности.

Функцию распределения вероятности можно получить из плотности распределения вероятности:

,

где х₀- граница.

Поэтому F(x₀) называют интегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация этих выражений представлена на рис. 18.

Рис. 18.

Здесь вероятность того, что случайная величина в сигнале окажется в интервале [x₁; x₂] равна площади фигуры, ограниченной графиком функции P(x), осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах интервала x₁, x₂.

Вероятность того, что случайная величина будет находиться ниже границы x₀ будет определяться как площадь фигуры, ограниченной кривой P(x), осью абсцисс, перпендикуляром к ней, проведенным через границу x₀ и минус бесконечностью (или для реальных процессов нижней границей- началом отсчета).

При расширении интервалов до бесконечности площадь, ограниченная графиком функции Р(х) и осью абсцисс будет равна единице:

.

Дата добавления: 2014-01-06