Алгебраические системы

Def 15. Алгебраической системой называются кортеж A=‹M,Q,R›, состоящие из непустого множества M, семейства Q алгебраических операций :M, и семейства R отношений , заданных на множестве M.

Множество M часто называют основным множеством. Показатели и рассматриваются как декартовые степени основного множества М и называются аргументами соответствующих алгебраических операций и отношений (n,i,jN).

Порядком (мощностью) алгебраической системы A называют мощность её носителя |M|.

Алгебраическую систему A называют конечной, если её основное множество M конечно; и конечного типа, если множество =QR (сигнатура) конечно.

Пример: ‹N, +, *,‹ › -алгебраическая система типа ‹2,2,2›.

‹N, +, –, ‹ › - не является алгебраической системой.

Алгебраические системы конечного типа записываются в виде:

A=‹M; , , …,; ,,…,›.

И при этом имеют в виду, что: образ (,,…,) элемента ‹,,…,› при отображении :M есть значение операции в точке ‹,,…,›; (,,…,) есть иная запись принадлежности элемента ‹,,…,› отношению ,

т.е. ‹,,…,› .

Среди элементов множества M алгебраической системы A, выделяют регулярные, нейтральные и симметричные элементы.

—Элемент aM называют регулярным, если из соотношений

f(‹a,x›)=f(‹a,y›) и f(‹x,a›)=f(‹y,a›) следует, что x=y (сокращение на регулярный элемент).

Пример: Всякое число регулярно относительно сложения, а для умножения, регулярно всякое число, кроме нуля(т.к. 0*x=0*y не влечет x=y)

—Элемент eM алгебраической системы A называется нейтральным, если справедливо соотношение:

f‹x, e› =f‹e, x› =x

При этом, если нейтральный элемент существует, то он регулярен и единственен.

Пример 1: Число нуль во множестве M=D является нейтральным элементом относительно сложения x+0=0+x=x, а единица, в этом же множестве, есть нейтральный элемент относительно умножения x*1=1*x=x.

Пример 2: Пустое множество Æ является нейтральным элементом относительно объединения:

Æ = Æ =, где M_i Í M.

Пример 3: Универсум есть нейтральный элемент относительно операции пересечения:

U=U=; U.

Пример 4: На множестве всех квадратных матриц n-го порядка с числовыми элементами, нулевые и квадратные матрицы служат соответственно нейтральными элементами относительно сложения и умножения.

—Элемент bM называется симметричным элементу aM, если справедливо соотношение f‹b,a› =f‹a,b› =e. В этом случае a называют симметризуемым элементом, а b обозначают через , т.е. b=.

Пример 5: Симметричным к числу x является число –x, такое что:

-x+x=x-x=0.

Обратным к числу x называется число: x ^-1, такое что:

x ^-1*x=x*x ^-1=1.

Пример 6: Симметричной к матрице n-го порядка относительно операции умножения является взаимно-обратная матрица.

Примечание 1: Множество, в котором всякий элемент имеет симметричный себе, называется симметризуемым.

Примечание 2: Множество всех собственных подмножеств относительно операций объединения или пересечения не содержит симметричных элементов.

Примечание 3: Если в алгебраической системе множество отношений пусто, т.е. если R=Æ, то говорят об алгебре (универсальной алгебре) A=‹M,O›.

Примечание 4: Если в алгебраической системе множество операций пусто O=Æ,то говорят о модели (реляционной системе) A=‹M,R›.

Дата добавления: 2014-01-06