Правило Лопиталя. Формула Тейлора

В случае неопределенностей вида и при вычислении пределов часто бывает полезным правило Лопиталя, которое задается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть функции f (x) и g (x) удовлетворяют следующим условиям:

1) определены и дифференцируемы на интервале (a; b), за исключением, быть может, точки причем и

2) (либо );

3) существует предел тогда существует предел отношений функций причем

(17.19)

Правило Лопиталя можно использовать последовательно несколько раз.

Аналогичное правило верно в случае

Если при вычислении пределов возникает неопределенность иного вида, то вначале пределы необходимо свести к неопределенности вида или а затем использовать правило Лопиталя.

В частности, выражения, которые приводят к неопределенностям вида тождественно преобразуют к такому выражению, которое приводят к неопределенности вида или

Неопределенности вида возникают при рассмотрении функции типа С помощью тождества

(17.20)

они сводятся к неопределенности вида а затем – к или

Если функция f (x) имеет в некоторой окрестности точки производные до ()-го порядка включительно, то при верна формула Тейлора:

(17.21)

где – остаточный член формулы Тейлора.

Существует несколько форм записи остаточного члена. В частности, в форме Лагранжа:

Если в формуле Тейлора получим частный вид формулы Тейлора – формулу Маклорена:

где

Верны следующие формулы Маклорена:

(17.22)

где

где

(17.23)

где

(17.24)

где

где

Формулы Маклорена могут быть использованы в приближенных вычислениях. При этом абсолютная погрешность приближения в случае чередования знаков в формуле Маклорена не превосходит абсолютной величины первого отбрасываемого слагаемого.

Задания

Дата добавления: 2014-01-06