Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

И наименьшее значение функций на промежутке




Исследование функций. Наибольшее

III уровень

3.1. Вычислите предел функции с помощью правила Лопиталя:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

 

3.2. Вычислите предел функции различными способами:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

 

3.3. Используя известные формулы Маклорена, разложите функцию f (x) по степеням x (запишите первые 5 слагаемых):

1) 2)

3) 4)

 

 

 

Всюду далее функция f (x) определена на рассматриваемых промежутках.

Теорема 1 (достаточное условие монотонности). Дифференцируемая на (a, b) функция возрастает (убывает) на этом интервале тогда и только тогда, когда

Точка х 0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x), если существует некоторая окрестность точки такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции.

Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции.

Теорема 2 (необходимое условие существования экстремума функции). Если в точке функция f (x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Те точки из области определения функции f (x), в которых производная функции f (x) обращается в нуль или не существует, называют критическими. Исследование функции на экстремум начинается с нахождения критических точек. Однако не в каждой критической точке существует экстремум. Для того чтобы определить точки экстремума, используют достаточные условия (признаки экстремума).

Теорема 3 (первый признак экстремума функции). Пусть – критическая точка непрерывной функции f (x). Если в некоторой окрестности точки выполняется условие

то – точка локального максимума;

если выполняется условие

то – точка локального минимума.

Если производная имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестности точки то не является точкой экстремума.

Теорема 4 (второй признак экстремума функции). Пусть – критическая точка дважды дифференцируемой функции f (x). Тогда является точкой локального минимума функции f (x), если и точкой локального максимума, если

Теорема 5 (третий признак экстремума функции). Пусть f (x) – n раз непрерывно дифференцируемая в критической точке функция и Тогда:

1) если n – четное и то – точка локального максимума;

2) если n – четное и то – точка локального минимума;

3) если n – нечетное, то не является точкой локального экстремума.

З а м е ч а н и е 1. При исследовании функции и построении ее графика целесообразно использовать первый признак экстремума, так как одновременно получаем возможность исследования функции на монотонность.

Точка называется точкой глобального максимума (минимума) функции f (x) на некотором промежутке, если для любой точки x из этого промежутка выполняется неравенство

Точки глобального максимума и минимума называются точками глобального экстремума. Значения функции в этих точках называются соответственно глобальным максимумом (наибольшим значением) и глобальным минимумом (наименьшим значением).

Теорема 6 (Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений.

Непрерывная на отрезке функция достигает наименьшего (наибольшего) значений либо на концах отрезка, либо в точках ее локального экстремума.

Для отыскания глобального экстремума функции f (x) на отрезке [ a, b ] необходимо:

1) найти производную

2) найти критические точки функции;

3) найти значения функции на концах отрезка, т. е. f (a) и f (b), а также в критических точках, принадлежащих (a, b);

4) из всех полученных значений функции определить наибольшее и наименьшее ее значения.

График функции называется вогнутым (выпуклым вниз) на (a, b), если дуга кривой на этом интервале расположена выше любой касательной, проведенной к графику этой функции (рис. 17.1).

 
 

 


Рис. 17.1

 

 

График функции называется выпуклым (выпуклым вверх) на (a, b), если дуга кривой на этом интервале расположена ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции (рис. 17.2).

 
 

 

 


Рис. 17.2

 

Теорема 7. Если функция f (x) дважды дифференцируема на (a, b) и всюду на этом интервале, то график функции вогнутый (выпуклый) на (a, b).

Точка такая, что график функции меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, проходя через , называется точкой перегиба (рис. 17.3).

 

 
 

 

 


Рис. 17.3

 

Для нахождения точек перегиба вначале находят критические точки 2-го рода – те значения x, для которых или не существует. Далее используют достаточные условия перегиба.

Теорема 8 (первый признак перегиба). Если функция f (x) непрерывна в критической точке 2-го рода и ее вторая производная имеет различные знаки слева и справа от то – точка перегиба.

Теорема 9 (второй признак перегиба). Если функция f (x) имеет непрерывную производную в точке в которой то – точка перегиба.

З а м е ч а н и е 2. При исследовании функции и построении ее графика целесообразно использовать первый признак перегиба, так как одновременно получаем возможность исследования графика функции на выпуклость и вогнутость.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 568; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.