Экстремумы функций двух переменных

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая d -окрестность точки М ₀, что для всех точек из этой окрестности (отличных от М ₀) выполняется неравенство

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами (локальными), а точка М ₀, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

(18.34)

Точки, в которых частные производные существуют и равны нулю, называются стационарными.

Точки из области определения функции, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими точками.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума. Пусть – стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой функции Обозначим:

Тогда:

1) если то функция имеет в точке М ₀ локальный экстремум (максимум при и минимум при );

2) если то в точке М ₀ функция не имеет экстремума;

3) если то в точке М ₀ функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (нужны дополнительные исследования).

Допустим, что функция f (x; y) определена на некотором множестве

Число С называют наибольшим значением функции (глобальный максимум) на множестве D, если

записывают так:

Число с называют наименьшим значением функции (глобальным минимумом) на множестве D, если

записывают так:

Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в области нужно:

1) найти критические точки функции, принадлежащие D, и вычислить значение функции в них;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области

3) сравнить все полученные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Если область определения функции не является замкнутой, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:

1) найти критические точки функции, принадлежащие D;

2) исследовать найденные критические точки на экстремум (локальный);

3) вычислить значения функции в точках локального максимума (минимума) и отобрать среди них наибольшее (наименьшее).

Задания

Дата добавления: 2014-01-06