Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство




Если (Х;У)- дискретная двумерная случайная величина, причем Х и У независимые случайные величины, то

kxy= M[(X-mx)(Y-my)]= ½т.к. X и Y независимые случайные величины, то pij=pipj ½=g

Аналогично проводится доказательство, если (Х;У)- непрерывная двумерная случайная величина.

Заметим, что из некоррелированности случайных величин, в общем случае, еще не следует их независимость. Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зависимыми.

Итак:

· из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность.

· Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Числа kxy и rxy характеризуют не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость между случайными величинами Х и У. Некоррелированность эквивалентна линейной независимости.

 
 

Отметим на плоскости в системе координат точками результаты измерений случайной величины (Х;У).

 

 

Рис.11

 

Ограничимся приближенным представлением (точное приближение, вообще говоря невозможно) величины Y в виде линейной функции величины X.

у
Найдем линейную зависимость у=kx+b (графиком которой является прямая), которая давала бы возможность предсказывать как можно точнее значения случайной величины У по значениям случайной величины Х, т.е. такую линейную зависимость, чтобы ошибка предсказания M[(Y-y)2], была минимальной.

Можно доказать, что в этом случае

k = b = my - kmx.

При этих значениях k и b прямая y=kx+b имеет вид

и называется прямой среднеквадратической регрессии У на Х, где называется коэффициентом регрессии Y на X.

При этом ошибка замены равна

M[(Y-(kx+b))2]=.

Тогда найдем,==.

Отсюда видно, что -1£ rxy£ 1 (т.к. 1-r2xy³ 0) и чем ближе r2xy к единице, тем теснее линейная зависимость между случайными величинами Х и У, если же rxy=±1, то Х и У связаны линейной зависимостью Y=kX+b с вероятностью единица.

Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии X на Y:

где - коэффициент регрессии X на Y.

Если rxy= ±1, то обе прямые регрессии, как очевидно, совпадают. Из уравнений прямых регрессии следует, что обе прямые регрессии проходят через точку (mx,my), которую называют центром совместного распределения величин X и Y.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 319; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.