В двоичную систему счисления

Перевод целых десятичных чисел

Связь между позиционными системами счисления

Двоичная система счисления

Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления. В ней для записи чисел используются всего две цифры: 0 и 1. Запись 10 означает число 2, так как две единицы данного разряда составляют единицу старшего разряда.

В двоичной системе счисления основание q = 2. В этом случае формула (1) принимает следующий вид:

A ₂ = ±(a_{n –1} × 2 ^{n –1} + a_{n –2} × 2 ^{n –2} +…+ a ₀ × 2⁰ + a _–1×2^–1 + a _–2 × 2^–2 +…+ _–m × 2^{– m} ),

где а_i — цифры 0 или 1.

Выпишем начало натурального ряда чисел в десятичной и двоичной системах счисления:

A10	A2	A10	A2

Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

Человек привык работать в десятичной системе счисления,
а ЭВМ ориентирована на двоичную систему. Поэтому общение человека с машиной было бы невозможно без создания простых и надежных алгоритмов перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Первый способ. Пусть А _ц — целое десятичное число. Тогда в его разложении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами, и его можно представить в виде:

A ц = an –1×2 ^n ^–1+ an –2×2 ^n ^–2+…+ a 0×2^0.

(2)

Разделим число А _ц на 2. Частное будет равно

a_{n –1} × 2 ^{n –1} + a_{n –2} × 2 ^{n –2} +…+ a¹,

а остаток равен а ₀.

Полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а ₁. Если продолжить этот процесс деления, то на п- м шаге получим набор цифр а ₀, а ₁, а ₂, … а_{n –1}, которые входят в двоичное представление числа A _ц и совпадают с остатками при последовательном делении данного числа на 2. Но мы их получили в порядке, обратном порядку расположения в двоичном представлении числа А _ц: А _ц = а_{n –1} а_{n –2}... а ₁ а ₀.

Пример 1. Перевести десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

Записывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11₁₀ = 1011₂.

Пример 2. Если десятичное число достаточно большое, то можно порекомендовать следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

Делимое
Делитель
Частное

363₁₀ = 101101011₂.

Второй способ. Представим десятичное число 1579 в двоичной системе счисления. Для этого составим таблицу степеней числа 2.

n
2 ^n

Воспользуемся так называемым методом разностей. Берем ближайшую к переводимому числу степень числа 2 и составляем разность: 1579 – 1024 = 555. Затем находим следующую степень числа 2, меньшую 555, и составляем разность: 555 – 512 = 43.

Три очередные степени числа 2 (256, 128, 64) больше остатка 43 и поэтому пропускаются. Последующие разности: 43 – 32 = 11, 11 – 8 = 3, 3 – 2 = 1. В итоге:

1579 = 1024 + 512 + 32 + 8 + 2 + 1 = 1×2¹⁰ + 1×2⁹ + 0×2⁸ + 0×2⁷ +

+ 0×2⁶ + 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰.

Это число в свернутой форме записи будет иметь следующий вид: 11000101011₂.

Дата добавления: 2014-01-06