Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Пусть необходимо перевести число N _(p), заданное в системе счисления с основанием р, в его представление N _(q) в системе счисления с основанием q.

Существуют общие правила перевода:

· для перевода целой части числа используется правило последовательного деления;

· для перевода дробной части используется правило последовательного умножения.

Правило перевода целой части — правило последовательного деления:

Для перевода целой части числа N _(p) с основанием р в целое число N _(q) с основанием q необходимо последовательно делить целую часть числа N _(p) и получаемые частные на основание новой системы счисления q, представленное в системе счисления р, до тех пор пока частное не станет меньше q. 2. Старшей цифрой записи числа N _(q) служит последнее частное, а следующие за ней цифры являются остатками от деления частичных частных, записанными в порядке обратном их получения.

Пример 3. Преобразовать десятичное число 142₍₁₀₎ в двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное числа:

2-я с.с.	Частичное частное	Остаток	8-я с.с.	Частичное частное	Остаток	16-я с.с.	Частичное частное	Остаток
142:2 =	71		142:8 =			142:16 =		14 Þ Е
71:2 =			17:8 =
35:2 =
17:2 =
8:2 =
4:2 =
2:2 =
142(10) = 10001110(2)	142(10) = 216(8)	142(10) = 8Е(16)

Стрелками показывается порядок записи цифр в новой системе счисления.

Для шестнадцатеричной системы счисления цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15 обозначаются соответственно латинскими буквами A, B, C, D, E, F (см. табл. 2).

Правило перевода дробной части — правило последовательного умножения:

Для перевода дробной части числа N _(p) с основанием р в дробное число N _(q) с основанием q необходимо последовательно умножать исходную дробную часть числа N _(p) и получаемые частные дробные части произведений на основание новой системы счисления q, представленное в системе счисления р. Количество умножений определяется заданной точностью. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр представления дроби в системе счисления с основанием q.

Пример 4. Преобразовать десятичную дробь 0.378₍₁₀₎ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

2-я с.с.	Частное произведение	Целая часть	8-я с.с.	Частное произведение	Целая часть	16-я с.с.	Частное произведение	Целая часть
0.378´2 =	0.756		0.378´8 =	3.024		0.378´16 =	6.048
0.756´2 =	1.512		0.024´8 =	0.192		0.048´16 =	0.768
0.512´2 =	1.024		0.192´8 =	1.536		0.768´16 =	12.288	12ÞС
0.024´2 =	0.048		0.536´8 =	4.288		0.288´16 =	4.608
0.048´2 =	0.096		0.288´8 =	2.304
0.096´2 =	0.192
0.192´2 =	0.384
0.384´2 =	0.768
0.768´2 =	1.536
0.378(10) = 0.011000001(2)	0.378(10) = 0.30142(8)	0.378(10) = 0.60С4(16)

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). При этом незначащие нули слева от целой части числа, и справа от дробной части отбрасываются.

Пример 5. Перевести в двоичную систему счисления следующие восьмеричные и шестнадцатеричные числа:

8-я с.с.	Триады	16-я с.с.	Тетрады
237.4(8) =			111.		1А3.F8(16) =			0011.
	¯	¯	¯	¯		¯	¯	¯	¯	¯
							А		F
Результат:	10011111.1(2)	Результат:	110100011.11111(2)

Перевод двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы осуществляется также просто: двоичное число разбивается вправо и влево от точки, отделяющей целую часть от дробной, на триады (для восьмеричной системы счисления) или тетрады (для шестнадцатеричной системы счисления). При необходимости крайнюю левую триаду (тетраду) целой части и крайнюю правую (дробной части) дополняют нулями, а затем каждую триаду (тетраду) заменяют восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример 6. Представить в восьмеричном и шестнадцатеричном виде следующее двоичное число 10101011111101.1101001₍₂₎.

Направление разбиения целой части на триады ¬

Направление разбиения дробной части на триады ®

Исходное число

(0)10

101.

1(00)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Цифры 8 с.с.

Результат:

25375.644(8)

Направление разбиения целой части на тетрады ¬

Направление разбиения дробной части на тетрады ®

Исходное число

(00)10

1101.

001(0)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Цифры 16 с.с.

A

F

D

D

Результат:

2AFD.D2(16)

Перевод двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления осуществляется по формуле (1) (см. пример 2).

Дата добавления: 2014-01-06