Обратная подстановка

Тригонометрические подстановки.

Правило интегрирования рациональных дробей

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Интегрирование простейших рациональных дробей

1).

2). (n=2,3,4……..)

3). - эти интегралы представляют в виде суммы двух интегралов и путём выделения полных квадратов приводят к табличным.

4). - такие интегралы вычисляют с использованием специальных таблиц и по рекуррентным формулам.

Пример 1. Вычислить

= =

=

Пример 2. Вычислить =

=

Дана правильная рациональная дробь R(x) =,

пусть Q(x) = (x- (x-b.

Теорема. Правильную рациональную дробь R(x) = можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей вида:

=

Без доказательства.

Метод неопределённых коэффициентов

Пример 1. Разложить дробь R(x) = на простейшие по теореме

Решение. R(x) = = + +

+ + +.

Пример 2. Разложить дробь R(x) = на простейшие и найти неопределённые коэффициенты.

Решение. R(x) =.

Приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители.

= +) +

Полагаем в последнем равенстве x = 1,получаем 5 =

Теперь применим метод неопределённых коэффициентов: сравним коэффициенты при одинаковых степенях переменной x.

1+ Решаем эту систему уравнений, находим

0 =, M =; N =.

9 = -2

Ответ. R(x) =.

Пример 3. Вычислить интеграл.

Решение. Выписываем подынтегральную дробь R (x) = и раскладываем её на простейшие дроби, так как дробь неправильная сначала её представляем в виде многочлена целой степени и правильной дроби

1 R (x) = = 2x +

2 2x

= = 1 = A () + B x () + (Cx+D) в этом равенстве полагаем x= 0, получаем 1 = 4A A =, дальше применяем метод сравнивания коэффициентов

0 = B +C =)dx

0 = A +D = - = dx + = - +C.

0= 3B B = 0;

1). Если рациональная дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2). Разлагают знаменатель на простые множители.

3). Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей.

ЛЕКЦИЯ 16. Интегрирование иррациональных функций

. Интегралы видаdx, где R – рациональная функция, подстановкой при-

водятся к интегрированию рациональной функции.

Пример. Вычислить = dt = =

=

. Интегралы вида подстановкой, где k - общее кратное m, n, p, приводятся к интегрированию рациональной дроби.

Пример. Вычислить =

= =

-2

-9

-27

= =

= -2 + 9 - 27 +C.

Интегралы вида подстановкой приводятся к интегралам от рациональной дроби.

Интегралы вида:

1). подстановками x =, (x =,

2). подстановками x =, (x =),

3). подстановками x =)

приводятся к.

Пример 1. Вычислить.

Пример 2. Вычислить =

=.

Интегралы вида новкой приводятся к

интегралам от иррациональных функций.

Пример. Вычислить = =

= =

=- +C.

Интегрирование дифференциальных биномов (подстановки Чебышева) – великий русский учёный 1821 – 1894

1). P - целое число, подстановка x =, где s – н.о.к. знаменателей m и n.

Пример. Вычислить интеграл

=

= 4() + C.

2). P – дробь, но целое число, подстановка где s знаменатель дроби р.

Пример. Вычислить =

3). p – дробь, - дробь, но +р - целое число, подстановка

где s – знаменатель дроби р.

Пример. Вычислить (

= -

ЛЕКЦИЯ 17. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида.

1). n - нечётное число, то cos x =t; dt = - sinx dx.

2). m – нечётное число, то sin x = t; dt = cos x dx.

Пример. Вычислить

3). m и n оба чётные, применяются формулы тригонометрии

si, co, sinx cosx =

Пример. Вычислить = =

= = x - x - x -.

Дата добавления: 2014-01-06