КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интегралы вида
легко вычисляются с применением формул тригонометрии: cos mx cos nx = sinmx sinnx = [-cos (m+n) x + cos (m-n) x] sin mx cos nx = [ sin (m+n)x + sin (m-n)x ] Пример. Вычислить = - . Интегралы вида преобразуются в R(x) c помощью подстановок: 1). Если p и q – нечётные или p+q – нечётная, то подстановка t = tg = x = 2 rctg t dx = sin x = cos x = Определение. Подстановка t = tg называется универсальной тригонометрической подстановкой. Пример 1. Вычислить = = = Пример 2. Вычислить = = =
2). p и q – чётные или p+q – чётная, то подстановка
Пример. Вычислить = =. . Интегралы вида приводятся к табличным, если применить формулы тригонометрии: t. Пример. Вычислить . Интегралы вида приводятся к рациональной дроби подстановкой: tg x = t; x =; dx = Пример. Вычислить =; 1 = A(1+, в последнем равенстве полагаем t = -1, получаем: A =. 1 = A + C C = 0=B+C эти значения подставляем в интеграл. = + ЛЕКЦИЯ 18. Определённый интеграл
Задача о площади криволинейной трапеции Пусть задана непрерывная функция y = f(x) на отрезке [ ]. y 0 x1x 2 xn-1b x 1). Разобьём отрезок [ на части: = x0, x1, x2,…..xn =b [x0 x1] [x1 x2 ] …… [xn-1 xn ] 2). В каждом отрезке выберем произвольную точку. 3). Найдём значения функции в этих точках f(), площадь каждого прямоугольника f() (xi –xi-1), а площадь всей фигуры – криволинейной тра- пеции будет равна s - это интегральная сумма. Сумма криволинейной трапеции будет тем точней, чем меньше будут отрезки разбиения, поэтому S =
(1) Определение. Пределинтегральной суммы (1) называется определённым интегралом, и обозначается S =. Если требуется вычислить площадь произвольной фигуры K, помещаем эту фигуру в систему координат C y K Sk = A B 0 D x b
Если f(x) < 0 на отрезке [ то S = -. Задача о массе стержня Рассмотрим металлический неоднородный стержень на отрезке [0,S]. 0 s1 s2 sn s Плотность в каждой точке стержня Масса стержня на этом отрезке определится по формуле m= mi = = Аналогично, можно показать, что работа силы по перемещению находится по формуле A =, где f(s) – сила, s –путь. Формула Ньютона – Лейбница Теорема. Значение определённого интеграла равно приращению любой первообразной функции в интервале интегрирования, то есть
Доказательство. Разобьём отрезок [ на части x1 =, x2, x3,…xn+1=b. Составим очевидное равенство: F(b)-F(x2) - F()) + (F(x3)-F(x2)) + (F (x4)-F(x3)) +…(F (b) –F (xn)) (1) К каждому интервалу применим теорему Лагранжа о конечных приращениях. F(x2) – F() = F’(P1) (x2 – …………………………………………………………… F(b) – F (xn) = F’ (pn) = f (pn) В равенстве (1) заменим разности, получим: F (b) – F() =, перейдём к пределу =, слева; предел числа равен самому числу, справа - интегральная сумма, она равна определённому интегралу, то есть F (b) – F() = ч.т.д. Свойства определённого интеграла 1). При перемене пределов интегрирования, интеграл умножается на (-1).
2). Если 3). Если c b, то. 4).. 5)., где К – const. 6). Формула интегрирования по частям: b - a 7). Замена переменной в определённом интеграле. Пусть дан интеграл где f(x) – непрерывная функция на [. Введём новую переменную x =, если a). б).. Пример. Вычислить = = = = dt = 2 (- t)32 = 2 (9 – 3 - = 8). Интегрирование в симметрических пределах. если f(x) – чётная. если, f(x) – нечётная.
Основные теоремы об определённом интеграле Теорема 1. О знаке интеграла. Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знак, то интеграл представляет собой число того знака, что и функция. 1). f(x) 2). f(x) 3). f(x) f(x) Пример. Не вычисляя интеграла, определить его знак. Решение. На отрезке [0, функция f(x) = x sinx >0, значит и интеграл > 0. Теорема 2. Об оценке определённого интеграла. Значение определённого интеграла заключено между произведением наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции, умноженной на длину интервала интегрирования. m (b-) < (b-), где m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [. Пример. Оценить интеграл Решение. f(x) =, о.д.з. x; f’(x) = = 0 x1= 1, x2 = 0. f(0) = f(1) =, f(2) =. fнаим. = fнаиб. =. m = 0,5; M = 0,6. 1 <. Теорема 3. О среднем. Внутри интервала интегрирования [ cуществует хотя бы одно значение x = c, для которого. Значение f(c) называют средним значением функции на [ и записывают
Пример. Найти среднее значение функции f(x) = на [0,1]. Решение. yср. = 1 =. 0 Геометрически теорема о среднем говорит, что всегда можно подобрать такую высоту прямоугольника, чтобы его площадь равнялась площади криволинейной трапеции с тем же основанием. y
f(c)
c b 0 x
ЛЕКЦИЯ 19. Интегралы с переменным верхним пределом.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 2235; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |