Интегралы вида

легко вычисляются с применением формул тригонометрии: cos mx cos nx =

sinmx sinnx = [-cos (m+n) x + cos (m-n) x]

sin mx cos nx = [ sin (m+n)x + sin (m-n)x ]

Пример. Вычислить

= -

. Интегралы вида преобразуются в R(x) c помощью подстановок:

1). Если p и q – нечётные или p+q – нечётная, то подстановка

t = tg = x = 2 rctg t dx =

sin x = cos x =

Определение. Подстановка t = tg называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример 1. Вычислить = =

=

Пример 2. Вычислить = =

=

2). p и q – чётные или p+q – чётная, то подстановка

Пример. Вычислить =

=.

. Интегралы вида приводятся к табличным, если применить формулы тригонометрии:

t.

Пример. Вычислить

. Интегралы вида приводятся к рациональной дроби подстановкой: tg x = t; x =; dx =

Пример. Вычислить

=; 1 = A(1+, в последнем равенстве полагаем t = -1, получаем: A =.

1 = A + C C =

0=B+C эти значения подставляем в интеграл.

= +

ЛЕКЦИЯ 18. Определённый интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть задана непрерывная функция y = f(x) на отрезке [ ].

y

0 x₁x ₂ x_n-1b x

1). Разобьём отрезок [ на части: = x₀, x₁, x₂,…..x_n =b

[x₀ x₁] [x₁ x₂ ] …… [x_n-1 x_n ]

2). В каждом отрезке выберем произвольную точку.

3). Найдём значения функции в этих точках f(), площадь каждого прямоугольника f() (x_i –x_i-1), а площадь всей фигуры – криволинейной тра-

пеции будет равна s - это интегральная сумма. Сумма криволинейной трапеции будет тем точней, чем меньше будут отрезки разбиения, поэтому

S =

(1)

Определение. Пределинтегральной суммы (1) называется определённым интегралом, и обозначается S =.

Если требуется вычислить площадь произвольной фигуры K,

помещаем эту фигуру в систему координат

C

y K S_k =

A B

0 D x

b

Если f(x) < 0 на отрезке [ то S = -.

Задача о массе стержня

Рассмотрим металлический неоднородный стержень на отрезке [0,S].

0 s₁ s₂ s_n s Плотность в каждой точке стержня

Масса стержня на этом отрезке определится по формуле

m= m_i = =

Аналогично, можно показать, что работа силы по перемещению находится по формуле A =, где f(s) – сила, s –путь.

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема. Значение определённого интеграла равно приращению любой первообразной функции в интервале интегрирования, то есть

Доказательство. Разобьём отрезок [ на части x₁ =, x₂, x₃,…x_n+1=b.

Составим очевидное равенство:

F(b)-F(x₂) - F()) + (F(x₃)-F(x₂)) + (F (x₄)-F(x₃)) +…(F (b) –F (x_n)) (1)

К каждому интервалу применим теорему Лагранжа о конечных приращениях.

F(x₂) – F() = F’(P₁) (x₂ –

……………………………………………………………

F(b) – F (x_n) = F’ (p_n) = f (p_n)

В равенстве (1) заменим разности, получим:

F (b) – F() =, перейдём к пределу

=, слева; предел числа равен самому числу, справа - интегральная сумма, она равна определённому интегралу, то есть F (b) – F() = ч.т.д.

Свойства определённого интеграла

1). При перемене пределов интегрирования, интеграл умножается на (-1).

2). Если

3). Если c b, то.

4)..

5)., где К – const.

6). Формула интегрирования по частям:

^b -

^a

7). Замена переменной в определённом интеграле.

Пусть дан интеграл где f(x) – непрерывная функция на [.

Введём новую переменную x =, если

a).

б)..

Пример. Вычислить =

= = = dt = 2 (- t)³₂ = 2 (9 – 3 - =

8). Интегрирование в симметрических пределах.

если f(x) – чётная.

если, f(x) – нечётная.

Основные теоремы об определённом интеграле

Теорема 1. О знаке интеграла.

Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знак, то интеграл представляет собой число того знака, что и функция.

1). f(x)

2). f(x)

3). f(x)

f(x)

Пример. Не вычисляя интеграла, определить его знак.

Решение. На отрезке [0, функция f(x) = x sinx >0, значит и интеграл > 0.

Теорема 2. Об оценке определённого интеграла.

Значение определённого интеграла заключено между произведением наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции, умноженной на длину интервала интегрирования.

m (b-) < (b-), где m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [.

Пример. Оценить интеграл

Решение. f(x) =, о.д.з. x; f’(x) = = 0 x₁= 1, x₂ = 0.

f(0) = f(1) =, f(2) =. f_наим. = f_наиб. =. m = 0,5; M = 0,6.

1 <.

Теорема 3. О среднем.

Внутри интервала интегрирования [ cуществует хотя бы одно значение

x = c, для которого.

Значение f(c) называют средним значением функции на [ и записывают

Пример. Найти среднее значение функции f(x) = на [0,1].

Решение. y_ср. = ¹ =.

⁰

Геометрически теорема о среднем говорит, что всегда можно подобрать такую высоту прямоугольника, чтобы его площадь равнялась площади криволинейной трапеции с тем же основанием.

y

f(c)

c b

0 x

ЛЕКЦИЯ 19. Интегралы с переменным верхним пределом.

Дата добавления: 2014-01-06